复变函数论第5章第1节.ppt

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1、第五章解析函数的洛朗(Laurent)展式与孤立奇点2、解析函数的洛朗展式1、双边幂级数3、洛朗级数与泰勒级数的关系§1解析函数的洛朗展式4、解析函数在孤立奇点邻域内的洛朗展式1、双边幂级数负幂项部分正幂项部分主要部分解析部分同时收敛收敛双边幂级数收敛半径收敛域收敛半径收敛域两收敛域无公共部分；两收敛域有公共部分R收敛于收敛于结论:.常见的特殊圆环域:...2、解析函数的洛朗展式定理5.2(洛朗定理)证21.z..在第一个积分中:21.z..对于第二个积分:21.z..则如果为在圆环域内绕的任何一条正向简单闭曲线.则可用一个式子表示为:洛朗(Laurent)

2、级数展开式,由定理5.2知，在圆环域内的解析函数展开为含有正、负幂项的级数是唯一的，即f(z)的洛朗级数.因此，洛朗定理(定理5.2)给出了将圆环域内解析的函数展为洛朗级数的一般方法.3、洛朗级数与泰勒级数的关系oxy112oxy2oxy注意:奇点但却不是函数的奇点.本例中圆环域的中心是各负幂项的说明:1.函数在以为中心的圆环域内的洛朗级数中尽管含有的负幂项,而且又是这些项的奇点,但是可能是函数的奇点,也可能的奇点.不是2.给定了函数与复平面内的一点以后,函数在各个不同的圆环域中有不同的洛朗展开式(包括泰勒展开式作为它的特例).朗展开式是唯一的)思考：这与洛朗展开式的唯一

3、性是否相矛盾?(唯一性:指函数在某一个给定的圆环域内的洛4、解析函数在孤立奇点邻域内的洛朗展式常用展开方法:1.直接展开法利用洛朗定理公式计算系数然后写出洛朗展式缺点:计算往往很麻烦.根据正、负幂项组成的的级数的唯一性,可用代数运算、代换、并利用已知的幂级数展式优点:简捷,快速.2.间接展开法去求所需要的洛朗展式.例3解例4解例6内的洛朗展式.解例7作业:P2171(1)(3);2(1)(2)(3);3.