数形结合训练思维的几点思考

《数形结合训练思维的几点思考》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在学术论文-天天文库。

1、数形结合训练思维的几点思考【摘要】数形结合是学习数学知识、解决数学问题的重要思想方法。掌握“数”与“形”的特点、规律及其相互联系，根据问题的需要灵活运用数形转换、渗透、对照、交融等方式可有效提高学生思维品质。　　【关键词】数形结合训练思维品质　　【】G632【】A【】1674－4810（2011）21－0168－02　　　　著名数学家华罗庚指出：“数”与“形”是数学中最古老的，也是最本质的两样东西。近代数学的一切发展离不开“数”与“形”，两者不可偏废。数形结合是数学科学发展的必然选择。在中学数学教

2、学中，数形结合作为学习数学知识和解决数学问题的重要思想方法正日益受到重视。“数”与“形”既是学习过程中感知的对象即思维的材料，又是思维的产品。掌握“数”与“形”的特点、规律及其相互联系的过程，就是加工思维产品的过程。而不失时机地抓住两者的结合，可使感知与思维多角度、多层次深入展开，从而有效提高学生的思维品质。下面介绍笔者的一些探索，以求抛砖引玉。　　一由“数”见“形”，直觉作桥，训练思维的敏捷性　　基于学生对“数”与“形”内在联系的认识，可由“数”见“形”，把原来由数与式的单项思考转化为以直觉思维

3、作桥梁，通过跳跃的方式进行思考与判断，从而缩短加工思维产品的过程，提高思维的敏捷性。如，已知函数f（x）是偶函数，且在（－∞，0）上是增函数，问：f（x）在（0，＋∞）上是增函数还是减函数？应该说依定义判断对训练逻辑思维至关重要。若同时教给学生以形代推，运用直觉思维，则获得结论的速度将更快。具体作法：先画出y＝f（x）在（－∞，0）上的略图（见图1），再利用偶函数图像的对称性做出它在（0，＋∞）上的略图，其增减性一目了然。　　二由“形”到“数”，由表及里，锤炼思维的深刻性　　透过“形”的外表，揭示

4、其内在的数量特征，探讨“数”与“形”的本质联系与规律，这种由表及里的思维过程，对发展学生思维的深刻性有重要意义。　　例如，分别画出倾角不同的直线，让学生辨认其斜率的范围；给出ax2＋by2＝1的不同图形（椭圆、双曲线、平行直线等），判断在不同情况下a、b的范围及其绝对值间的大小关系等，这样学生对于不同曲线的特征与相应的解析式（或方程）中参数的内在联系有更准确、更深入的认识。　　三数形渗透，多方联想，增强思维的灵活性　　很多单凭式子变换深感棘手的问题，在“形”的配合下化难为易；不少错综复杂的形的变换

5、，借助于“数”的运算而避繁就简。数形互相渗透，促发了多方联想，从而开辟了多角度、多层次思维的通途。　　例如，矩形ABCD由三个全等的正方形联成（见图2），求证∠AFB＋∠ACB＝45°。学了相关知识后，可发动学生采用平几、三角、解析、代数（复数）等各种方法证明。用数形结合的思想叩开他们灵活思维的大门，思维的创造性也孕育其中。　　四数形对照，比较鉴别，发展思维的批判性　　“数”与“形”从两个不同的角度或方向反映同一事物的属性，对同一问题而言，二者应取得一致的效应。有些单方思考不易发现的错误，通过数形

6、对照，比较鉴别，摒弃那些经不起检验的东西。　　如解答图像选择题，要求使给出的解析式（或方程）与形状各异的图像选择支对号，解答中需充分调动直觉思维与分析思维，将各图像的特征与解析式认真对照，发现矛盾，决定取舍。在此过程中，观察、联想、对比交错进行，甚至还需多层次由定性到定量的观察与对比，这对于准确把握事物的特征，摒弃谬误，形成批判性思维是一次很好的锻炼。　　五数形交融，摆脱程序，启迪思维的创造性　　通过“数”与“形”沟通，两方面的信息和规律在学生头脑中互相促进、引发联想，两路思维交融，摆脱顺着一个方

7、向思考的思维定势，萌生创造性思维。　　例如，m为何值时，不等式x2－logmx＜0在（0，）内恒成立？　　受习惯性思维束缚的学生把精力集中在不等式变形：由x2－logmx＜0得x2＜logmx，∴logmmx2＜logmx；当m＞1时，mx2＜x；当0＜m＜1时，mx2＞x等等，无法作出判断。数形结合训练有素的学生则通过观察，采取式子变换与图形判断交错进行思维：由x2－logmx＜0得x2＜logmx。后面不等式两边实质分别是x的二次函数与对　　数函数。变换思维角度：令f（x）＝x2，g（x）＝l

8、ogmx分别作出它们的草图，本题就转化为：“m为何值时，在区间（0，）内f（x）的图像恒在g（x）图像的下方？”由于问题条件隐蔽，y＝g（x）的草图仍需配合式中数量关系分析：∵f（x）＝x2在（0，）内恒正，又∵logmx＞x2，∴logmx在（0，）也恒正，∴m∈　　（0，1），此时方可作出f（x）与g（x）的草图（见图3），对照图形中的特殊点及曲线的增减性，再进行第二层次的数量关系推导：∵当x＝时，f（x）＝，又∵f（x）在（0，＋∞上为增函数，而g（x）在（0，＋∞）上为减函