浅谈极坐标法在平面几何中的应用

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1、浅谈极坐标法在平面几何中的应用借助坐标系，运用代数知识来研究几何图形的方法叫做解析法。极坐标法是除直角坐标法以外的另一种常用的解析法。对于平面图形，可选取适当的直角坐标系求得其解，也可选取适当的极坐标系，建立点的极坐标或线的极坐标方程，运用极坐标知识、代数知识、三角知识等进行运算求得结论，这种解题方法就是极坐标法。下面就来谈谈极坐标法解平几题：　　一、极坐标法解题中怎样选取坐标系　　选取适当的极坐标系，是运用极坐标系解题的关键。为了便于表达和计算，通常应选取最简便的坐标系。选取什么样的坐标系最合适，这没有固定的规律，但应尽量利用所论图形的特点和已知条件，做

2、到：1.尽量使已知条件的表达形式简单；2.使运算过程最简单；3.使所要求的结论易于表示，并且几何意义明显。　　同时满足上面三点是比较困难的，往往要作出某种含量的权衡。一般说来，表示所论图形中有关点坐标需用的字母数越少，就可使过该点的曲线方程越简明、运算过程越简单；反过来，又可用表示所设点坐标需要的字母数是否尽量少来作为衡量所取坐标系是否简便的标志。例如，选取所论图形中的某个特殊点为极点，就可使过该点的曲线方程中不含常数项；选取所论图形中的某一点在极轴中，就能使该点的极角坐标为0；选取所论图形中的某一条直线为极轴，就可使该直线上点的极角坐标简化。　　用极坐标

3、法解答三角形中的有关问题时，一般选三角形的一顶点为极点，过顶点的某一射线为极轴，这样可使三角形一顶点的坐标为（0，0），另两个顶点的坐标可表示为（ρ，θ）的形式（一般ρ、θ均为已知）。并且一般选过该顶点的一边或过该顶点的内角平分线为极轴。　　二、极坐标法解题的步骤　　运用极坐标法解平几题时，一般按下列步骤进行：　　1.选取坐标系。根据图形的特点及已知条件，选取适当的点作为极点，选取适当的射线作为极轴，这是运用极坐标法解题最关键的一步。坐标系的选取直接影响着解题过程的繁简。　　2.确定已知点的坐标或线的方程。根据选定的坐标系，确定已知点的坐标，建立已知直线、

4、曲线的方程。为此，必须引入一些参量，例如线段的长度等。　　3.进行运算，求得结构。根据点的坐标、线的方程，应用极坐标的有关知识及代数、三角知识进行数、式的计算和变动，求出需求的结果。　　4.讨论结构，作出结论。求出需要的结果后对结果进行分析、讨论，再赋予它几何意义，从而完成对几何命题的研究。　　三、用极坐标法解平几题举例　　1.证明线段的复杂比例式　　例：在圆内接四边形ABCD中，BC=CD。　　求证：AC2=AB·AD+BC2。　　分析：要证明AC、AB、AD、BC间复杂的关系式，而这些线段通过A点或C点。因BC=CD，所以∠BAC=∠CAD，故选A为极

5、点、AC所在直线为极轴建坐标系。　　证明：选如图所示的坐标系，设AB=ρ1、AC=ρ2、AD=ρ3、BC=CD=a，∠BAC=∠CAD=θ，则B、C、D的坐标分别如图所示：　　由距离公式有：　　a2=ρ12+ρ22-2ρ1ρ2cosθ（1）　　a2=ρ22+ρ32-2ρ2ρ3cosθ（2）　　（1）×ρ3-（2）×ρ1得：　　a2（ρ3-ρ31）=ρ1ρ3（ρ1-ρ3）+ρ22（ρ3-1）。当ρ1≠ρ3时有a2=-ρ1ρ3+2ρ22，　　即ρ22=ρ1ρ3+a2∴AC2=AB·AD+BC2。　　当ρ1=ρ3时，即AB=AD时，此时AC为圆的直径，显然有AC

6、2=AB·AD+BC2。　　∴AC2=AB·AD+BC2。　　2.证明线段和问题　　例：半圆的直径AB长2r，半圆外的直线L与BA的延长线垂直，垂足为T，AT=a（a<）。半圆上有相异两点M、N，它们在L上的投影分别为P、Q，并且有MP=MA、NQ=NA。　　求证：AM+AN=AB。　　分析：要证明AM+AN=AB，AM、AN、AB三线段都通过点A，因此本题可选A为极点，AB所在直线为极轴。　　证明：如图，建立以A为极点、AB所在直线为极轴的极坐标系。　　设M、N两点坐标分别为M（ρ1，θ1）、N（ρ2，θ2）（ρ1，ρ2>0，ρ1≠ρ2），则

7、MP=a+ρ1cosθ1，ρ2NQ=a+ρ2cosθ2，∴ρ1=a+ρ1cosθ1（1），∴ρ2=a+ρ2cosθ2（2）　　∵圆的方程为ρ=2rcosθ，∴cosθ1=，cosθ2=，代入（1）、（2）化简得ρ12-2rρ1+2ar=0（3），ρ22-2rρ2+2ar=0（4）。　　关于ρ1的方程和关于ρ2的方程形式相同，而ρ1≠ρ2，∴ρ1、ρ2是方程t2-2rt+2ar=0的两借助坐标系，运用代数知识来研究几何图形的方法叫做解析法。极坐标法是除直角坐标法以外的另一种常用的解析法。对于平面图形，可选取适当的直角坐标系求得其解，也可选取适当的极坐标系，建

8、立点的极坐标或线的极坐标方程，运用极坐标知识、代数知识、三角知识等