浅谈向量在平面几何中的运用

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1、浅谈向量在平面几何中的运用庐山中学潘峰向量是解决数学问题的-•种重要工具，由于向量触数、形与一体，因而成为中学数学知识的一个交汇点。向量的引入，揭示了数学知识Z间的纵横联系，进一步发展和完善了中学数学知识体系，拓宽了研究和解决问题的思维通道。利用向量知识解题具有许多优越性：思路直观、运算简单、能把“数”和“形”有机地结合起来。通过向量知识的学习，将使学生对量的数学认识进入一个新的领域，同时学生对平面儿何的定理及有关性质的推导和证明，对解析儿何有关问题的理解及应用、三角函数公式及性质的来源、证明和运用等乂达到了“质”的飞跃。向量法与综合法、解析法被认为是研究初等儿何的3种主要方法。向量

2、方法在处理有关度量、角度、平行、垂直等问题时有其独到之处，另外，用向量知识处理平面几何题时，可以避免去考虑几何中较复杂的位置关系。B1、数量积公式ab=同•方cos。的应用例余弦定理的证明.c2=网「=乔•乔又AB=AC+CB・•.c2=（AC+CB）*（AC+CB）=

3、Xc

4、24-2AC>CB+c2=

5、Xb

6、2=IAC

7、2+

8、Xc

9、•

10、cb

11、cos(180°-C)+CB^=a2+2abcosC+b2•Ic2=a2-2abcosC+b2同理可得：a2=b~-2/?ccosA+c2b~-a1-2accosB+c22、线段的定比分点公式线段定比分点坐标公式的获得:设Pf二入pp2点Pi、

12、P、P2坐标为(Xi,yj、曲向量的坐标运算Pf二(x-Xi,y-yj,PP2=(x2-x,y2-y)x-xx=A(x2一x)y-y=兄(力一刃X,+加2X—1+?定比分点坐标公式/+勿2」1+久例2：若直线l:mx+y+2=0与线段AB有交点，其中A(-2,3)、B(3,2),求hi的取值范围.AP解：设】交有向线段AB于点P(x,y),且矿心0,当宀0时直线过A点)-2+32jv—则可得21+扌因p点在/上，故可得2=却匸得加或加<_纟3+223m+423y=1+2由于设久时，无形中排除了P,B重合的情形，要将B点坐标代入直线方程得454m=——，故加>二或加<——3232补充

13、内容：如图，在平面内任取一点0,设0P、—a,0P-,=b,•/PXP=OP—a,PPi—b—(OP-a)=2(&-OP),.•.OP=—-—a+1+21+2这就是线段的定比分点向量公式.G为三角形ABC的重特别当P为线段的中点时，有乔=例3：三角形重心问题.如图，已知三角形ABC,0为原点,心，求证：三角形重心为丄OA+-OB+-OC0_33证明：作有关各点的位置向量，则有BC的中点L对应于乂因为中线AL上的点的向径都可以用几可+(1—2回=2刃+上^亦+上^況來表示•同样，作AB的中点及这个中点到C的连线(另一中线)其上各点的向径均可表示为乎鬲+乎方+“元，=-（0A+0B+0C

14、+4、（“是另一参数）求这两条中线的交点就是耍找一个几一个“使这两个式子的系数全和同.因此，令.1-//1-A1-//1-Z/t=，=,=1222求得：2二“二丄.所以交点为向径：3111--OA+-OB+-OC233的终点G由对称性可知点G也在第三条中线上•即命题得证例4：如图5,五边形ABCDE^,M>N、P、Q分别是AB.CD、BC、DE的中点，且H、K分别是PQ、MN的中点，求证：KH平行月•等于丄AE.4分析：本题得条件比较分散，不集中，感觉无从下手。但如果换从向量的角度来思考，巧用中点，很容易找到解题思路。证明：在平面内任取一点0则苏冷阿+阿冷字oc+od]+OH]_2'

15、OB+OC2-OD+OEy2=-idB+OC+OD+OE~KH=0H-OK=-（OE-OA]=-AE,4、丿4故KH平行且等T-AE.4例：5：证明三角形三高线交于一点。证明：如图6,设AD丄BC,BE丄ACAAD,BE交于H,/.AH・BC=BHAC=O。CHBA=（G4+AH）（BC+C4）■.I•r■I•.■=CABC^CA+AHBC+AHCACABC+CA+AHCA=C4(BC+C4+AW)CABH=0,即丽•丽=0,・・CH丄ABo.・.三角形三高线交于一点。