面积法在平面几何问题求解中的巧妙应用.doc

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1、平面几何问题的证明——面积法（教案）教学目的：掌握面积法在平面几何解题中的巧妙应用教学重点：1、三角形、凸四边形面积公式的推导2、面积法在平面几何解题中的巧妙应用教学内容：2002年，张景中院士推出《新概念几何》，其中对三角学作了全新的处理，他把边长为1、夹角为的菱形的面积定义为，由此研究正弦的性质，到处理余弦，用面积的方法证明大量的平面几何问题，把三角学和几何学打成一片，别具一格，极有新意。张院士指出：抓住面积，不但能把平面几何课程变得更容易学，而且使几何问题求解变得更有趣味。在求解平面几何问题的时候，根据有关几

2、何量与涉及的有关图形面积之间的内在联系，用面积或面积比表示有关的几何量或其比，从而把要论证的几何量之间的关系转化为有关面积之间的关系，并通过图形面积的等积变换对所论问题来进行求解的方法，这就是面积法。一、为运用面积法解题，我们需要一些面积公式：1、设中，角所对的边依次为，又为边上的高，为其外接圆半径，为其内切圆半径，，则（1）；（2）;（3）;(4);(5)；(6)。（海伦公式）2、在凸四边形中，边长分别为，两对角线长为两对角线夹角，且，则：（1）(2)(3)（当四点共圆时）(4)，或引理1：圆内接四边形的四边是则

3、四边形的面积，。事实上，以E为一组对边的交点，设。由~得，而，，同理，，，由海伦公式得对于一般情况的凸四边形，不满足四个顶点共圆，就没有如上的相似三角形，所以面积公式有所不同。定理：一般地，任意凸四边形的四边是则四边形的面积为其中，.证明：设对角线，②由于任意四边形由四条边和一个内角确定，所以可将内角看作是内角的函数，即。①、②两式两边同时对角求导得：③④将④式代入①式有⑤⑤③⑥将④式代入⑥式有上式两边积分得,其中是待定的常数。当四边形的四点共圆时，,此时所以任意凸四边形ABCD的面积,同理可证任意凸四边形ABCD

4、的面积由此我们也看出，四边给定的所有四边形中，当四点共圆时，四边形面积最大。二、面积法在平面几何解题中的应用引理2：共边定理若直线和直线交于,可能的情况如下图，则.例1、设是的平分线上任一点，过引交的延长线于,过引交的延长线于,求证：.连接由有.由有.故又P是的平分线上的点，P点到及的距离相等，即的边上的高等于的边上的高，从而.例2、如图，在中，是边上的高上的任一点，直线交于，直线交于，连接，求证：.证明：过点A作的平行线，分别交的延长线于则有,,三、小结：正如张院士所说的抓住面积，不但能把平面几何课程变得更容易学

5、，而且使几何问题求解变得更有趣味。因此，在求解平面几何问题的时候，根据有关几何量与涉及的有关图形面积之间的内在联系，用面积或面积比表示有关的几何量或其比，从而把要论证的几何量之间的关系转化为有关面积之间的关系求解。四、课后思考题：1、用面积法证明塞瓦定理。塞瓦（Ceva）定理：设分别是的边所在直线上的点（即三点中或三点或一点在边上），则三直线共点或平行的充要条件是证明必要性：若三直线交于一点，则若三直线平行，则充分性：若直线交于一点，设与的交点为，则由必要性知。而题设有，由此有，即，由此知与重合，从而三直线共点。若

6、,则代入已知条件有,由此知.故。证毕。2、凸四边形中，,,对角线交于点.求.证明法1（常规解法）：由题意可知且四点共圆。设，则在中运用正弦定理有：,即在中应用张角定理有：,即在中应用正弦定理有，即,.法2（面积法）由题意可知且四点共圆，由托勒密定理可知：,而.证毕