破解“勾股弦数公式”千古构造之迷

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1、破解“勾股弦数公式”千古构造之迷　　在数学中，勾股定理是一个非常重要的定理，满足勾股定理的正整数组解称为勾股数或勾股弦数，求勾股数或勾股弦数组的解法也具有重大的科学价值。早在大约公元前1900年到公元前l600年之间古巴比伦人就掌握了多组勾股弦数，近两千年来人们对“勾股弦数公式”的探索取得了辉煌成就。　　古代的勾股弦数公式代数表达式经笔者总结可分为两种类型：一是：平方式；二是：多项式。通常勾股定理表示为：a2+b2=c2，给出a、b、c正整数组解的代数表达式即为勾股弦数公式。现收集如下：　　、a=2mn；b=m2—n2；c=m2+n2　　

2、、a∶b∶c=mn∶/2∶/2　　、a=2m；b=m2—1；c=m2+1　　、a=m；b=/2；c=/2　　、a=2m+1；b=2m2+2m；c=2m2+2m+1　　、a=√2mn+n；b=√2mn+m；c=√2mn+m+n　　具有关资料介绍：式是古希腊数学家丢番图给出的全部勾股数组解，但是他如何得到这组公式，人们至今也无从知晓；式是我国古代数学巨著《九章算术》中提出的一组求勾股数公式；式是柏拉图给出的一组公式；式是毕达哥拉斯学派给出的。这四个公式称其为“平方式”，是因为它们一个解值用两个代数之积表示，另两个解值则是这两个代数的平方差与平

3、方和，只不过a数存在奇偶之别。式与式有资料说也是毕达哥拉斯学派和丢番图给出的。　　这些古代人流传下来的勾股弦数公式存在一个迷案：没有一般求解方法。总结分析古人得到勾股弦数公式笔者认为可有两种特殊方法：一是“规律”法，以具体的一些勾股数特殊规律给出的，如式、式等；就象某一数列已知前几项的特殊规律可给出以后项的通项公式一样，这种方法难免有局限性。二是“试算”法，历来的数学资料中没有这一说，只是笔者这里猜测的。式怎么得到的无人知晓，那么这类公式是不是用某种方法试算出来的呢？比如用完全平方式：2=S2+2SG+G2=S2+2SG+G2+2SG–2

4、SG=2+2　　如果其中=1，SG是完全平方数，则√SG是正整数，令：S=s2、G=g2，则上式可得=2+2　　这就是式的形式。将这个等式与勾股弦数联系起来古代那时侯就是奇迹了，式也可以类似试算出来；——当然这是猜测而已。无论这类公式是怎么得来的，都是一种经验性的。所以这些古人给出的公式后人有称是“构造”的，但后人也证明了是正确的。现在所谓破解“勾股弦数公式”千古构造之迷就是要展示勾股弦数公式能用一般代数方法求解，从理论上根本完结其定理的一般性证明。　　【笔者用设互为倒数的方法求得了与古代人构造出来相同的求解勾股数公式。参见《中国数学在线

5、数学论坛推荐帖》*《悬赏10，000元人民币否定一个数学证题*悬赏第三次再声明》中《关于xn+yn=zn问题的初等数学证明》。网址：http:///？F=/CMS/Search/&；T=BBS_&Key=SYS.%E8%aE%a8%E8%aE%Ba】　　现简要介绍如下：由a2+b2=c2变形为=1并设：　　c/a–b/a=n/m　　c/a+b/a=m/n　　解上方程组，分析y为偶数或奇数时有两种情形的解，即求解勾股数公式：　　a为偶数：a=2mn；b=m2-n2；c=m2+n2　　a为奇数：a=mn；b=/2；c=/2　　当a为偶数时正是

6、式和式，当a为奇数时正是式和式.因为=*=1，m、n是任意正整数，所以这两个勾股数公式能求得全部勾股数组。这种转化为互为倒数求解勾股弦数公式的方法叫“倒数法”。事实上，a为偶数时即式m、n取奇偶数或同取奇数以及取任意正整数这时不过会有≥1，如果除去公约数，便可求得全部基本勾股数组解；因而，只用式a不限定奇偶数条件就足够了　　【笔者于2006年5月发表的《最新证明的求解勾股弦数公式》一文，对a2+b2=c2这一不定方程，以a为求解对象，以b、c为相对即定条件将这两个数进行拆分，有正整数a2+2=2等式成立，分析确定a及b、c的解，所得a、b

7、、c组的代数解值，即为最新求得不同于从前的勾股弦数公式。详见《中国数学在线数学论坛数论》*《最新证明的求解勾股弦数公式》。网址：http:///？F=/Search/&；T=BBS_&Key=%E6%95%B0%E8%aE%Ba】　　简要介绍如下：a2+2=2　　t2+2td—2ad=0　　t2/2d+t—a=0根据约束条件分析，设t=2mn、d=2m2代入上式得　　2/2*2m2+2mn—a=0　　n2+2mn-a=0　　即求出a、b=t+d、c=a+d的数组解值式，其是多项式公式，承〖2〗列为式：　　、a=2mn+n2；b=2mn+2

8、m2；c=2mn+2m2+n2　　此式，令n=1则是式；令n2=N、2m2=M、2mn=√2MN，则有　　a=M+√2MN；b=N+√2MN；c=M+N+√2MN　　这个变式即是式的表达形式。