勾三股四弦五I

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1、第七讲.勾三股四弦五I【教学目标】1.复习直角三角形及勾股定理；2.掌握勾股定理的直接应用；3.掌握构造勾股定理法；4.掌握勾股定理的综合应用。【知识、方法梳理】1.勾股定理定义：如果直角三角形的两直角边长分别为，，斜边长为，那么.即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方勾：直角三角形较短的直角边股：直角三角形较长的直角边弦：斜边勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长有下面关系：，那么这个三角形是直角三角形.2.勾股数：满足的三个正整数叫做勾股数（注意：若为勾股数，那么同样也是勾股数组.）*附：常见勾股数：3,4,5；6,8,10；9,12,15；5,12,133.判断直角三角形：如果三角

2、形的三边长满足，那么这个三角形是直角三角形。（经典直角三角形：勾三、股四、弦五）其他方法：（1）有一个角为的三角形是直角三角形.（2）有两个角互余的三角形是直角三角形.用它判断三角形是否为直角三角形的一般步骤是：（1）确定最大边（不妨设为）；（2）若，则是以为直角的三角形；若，则此三角形为钝角三角形（其中为最大边）；若，则此三角形为锐角三角形（其中为最大边）11www.1smart.org中国领先的中小学教育品牌4.注意：（1）直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半（2）在直角三角形中，如果一个锐角等于，那么它所对的直角边等于斜边的一半.（3）在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那

3、么这条直角边所对的角等于。5.勾股定理的作用：（1）已知直角三角形的两边求第三边.（2）已知直角三角形的一边，求另两边的关系.（3）用于证明线段平方关系的问题.（4）利用勾股定理，作出长为的线段【典例精讲】类型一：勾股定理的直接用法例1．在中，(1)已知，，求，(2)已知，，求；(3)已知，，求.【思路点拨】:写解的过程中，一定要先写上在哪个直角三角形中，注意勾股定理的变形使用.【解析】：(1)在中，，，，(2)在中，，，,(3)在中，，，,类型二：勾股定理的构造应用例2．如图，已知：在中，。求：的长。【思路点拨】：由条件，想到构造含角的直角三角形，为此作于，则有，，再由勾股定理计算出的长

4、，进而求出的长。【解析】：作于，则因，∴（的两个锐角互余）∴（在中，如果一个锐角等于，那么它所对的直角边等于斜边的一半）.根据勾股定理，在中，11www.1smart.org中国领先的中小学教育品牌.根据勾股定理，在中，.∴.类型三：勾股定理的实际应用：（一）用勾股定理求两点之间的距离问题例3．如图所示，在一次夏令营活动中，小明从营地点出发，沿北偏东方向走了到达点，然后再沿北偏西方向走了到达目的地点.（1）求、两点之间的距离.（2）确定目的地在营地的什么方向.【解析】：（1）过点作//∴∵∴即为直角三角形由已知可得：，由勾股定理可得：所以（2）在中，∵，∴∵∴即点在点的北偏东的方向11ww

5、w.1smart.org中国领先的中小学教育品牌（二）用勾股定理求最短问题：例4．国家电力总公司为了改善农村用电电费过高的现状，目前正在全国各地农村进行电网改造，某地有四个村庄、、、，且正好位于一个正方形的四个顶点，现计划在四个村庄联合架设一条线路，他们设计了四种架设方案，如图实线部分．请你帮助计算一下，哪种架设方案最省电线．【思路点拨】：解答本题的思路是：最省电线就是线路长最短，通过利用勾股定理计算线路长，然后进行比较，得出结论．【解析】：设正方形的边长为1，则图（1）、图（2）中的总线路长分别为图（3）中，在中同理∴图（3）中的路线长为图（4）中，延长交于，则，由及勾股定理得：∴∴此图

6、中总线路的长为∴图（4）的连接线路最短，即图（4）的架设方案最省电线。类型四：利用勾股定理作长为的线段：例5．作长为、、的线段.【思路点拨】：由勾股定理得，直角边为1的等腰直角三角形，斜边长就等于，直角边为和1的直角三角形斜边长就是，类似地可作.【作法】：如图所示11www.1smart.org中国领先的中小学教育品牌（1）作直角边为1（单位长）的等腰直角，使为斜边；（2）以为一条直角边，作另一直角边为1的直角.斜边为；（3）顺次这样做下去，最后做到直角三角形，这样斜边、、、的长度就是、、、.类型五：逆命题与勾股定理逆定理：例6．写出下列原命题的逆命题并判断是否正确1．原命题：猫有四只脚．

7、（正确）2．原命题：对顶角相等（正确）3．原命题：线段垂直平分线上的点，到这条线段两端距离相等．（正确）4．原命题：角平分线上的点，到这个角的两边距离相等．（正确）【思路点拨】：掌握原命题与逆命题的关系.【解析】：1.逆命题：有四只脚的是猫（不正确）2.逆命题：相等的角是对顶角（不正确）3.逆命题：到线段两端距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上．（正确）4.逆命题：到角两边距离相等的点，在这个角的平分线上．（正确）【总