勾 股 数 序 列

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1、勾股数序列山东定陶一中刘述省序言两千多年前，中国人和希腊人发现了勾股定理，当是数学史上的伟大创举。ａ＝２ｍｎ，ｂ＝ｍ²－ｎ²，ｃ＝ｍ²＋ｎ²则是近代中国人在数论领域的又一重大成就，它将勾股数的一般求法表述得如此简捷。然而迄今为止，未见一个具体详细的勾股数序列表。这是因为，用现代数学家的眼光来看，找素勾股数是一件很困难的事，更不用说全部勾股数的序列表了。2002年，本人找到了一种极其初等的方法。初中学生即可做，可以将所有勾股数按照一定的顺序一个不漏地列出来，制作成表。（当然，由于勾股数的无限多，只能列出一定范围内的）。此成果获得中国管理科学研究院颁发的中国新时期人文科学优秀成果一等奖

2、。学校有了自己的网站，给我们广大师生建立了互相交流的平台。自己多年的一点点积累，也很想与大家一起交流学习。下面的正文力图深入浅出，另有勾股数序列表一并附上。并指望有一天，看到有高手通过编程法打印出可观的勾股数序列表，学生人手一册。真正让勾股定理走进普通人之中。正文先找素勾股数，即勾a，股b，弦c三数互质（无公约数）的勾股数。故约定：a＜b＜c.a²+b²=c²且abc互质。因ａ²=(c－ｂ)(ｃ＋ｂ),突破口选在ｃ－ｂ上。并记满足ｃ－ｂ＝ｋ的素勾股数为dk勾股数。（论文在后面将dk勾股数的倍数形成的勾股数叫做dk倍勾股数）以下将按照k的取值从小到大依次探求结论。k＝１时，a²＝ｋ（

3、ｂ＋ｃ）＝ｂ＋ｃ＝２ｂ＋１．知a是大于1的奇数。设a=2m+1，则b=(a²－１)/2,c＝ｂ＋１．m依次从1开始取值，即得到d1素勾股数序列如下：abc说明：1.a列从上到下依次多2，b列从上到下依次多加4.345512132.各列个位数五个数一循环。72425940413.拟人法比喻，c为姐，b为弟，a为妹。可编口诀如下：116061138485妹妹方一方，姐弟和相当；1511211317144145姐大弟一年，三人勾股弦。19180181.。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。ｋ＝２时，ａ²＝２（ｂ＋ｃ）＝２（２ｂ＋２）＝４（ｂ＋１）．设ａ＝２ｍ，则ｂ＝ｍ²－１，ｃ

4、＝ｂ＋２．得出通项公式后，还要注意考虑两点。第一，要保证abc互质。这里a已经确定是偶数，b就不能再是偶数，所以知m是偶数。第二，要保证b＞a。这里换算为m²—1＞2m。得到m＞1+。以上两点结合起来，就确定了m的取值。m为大于等于4的偶数。m从4开始依次取偶数，即得到d2素勾股数序列如下：abc81517说明：1.a列从上到下依次多4,b列从上到下依次多加8.1235371663652.各列个位数五个数一循环。2099101241431453.b比m²少1，c比m²多1.28195197322552573632332540399401.。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。

5、。。k=3时，d3素勾股数不存在。因为如果k=3，则abc有公约数3.推导如下：若a²=3（2b+3），则a中有3因子，设a=3m，则b=（3m²－３）/2,b中也有3因子，c=b+3自然也有3因子。于是abc有公约数3.于之前的约定abc是素勾股数相矛盾，故知d3素勾股数不存在仿照上面的方法很容易推导出，k取4，5，6，7时，相应的d4，d5，d6，d7素勾股数均不存在。k=8时,a²=8(2b+8)=16(b+4).设a=4m,则b=m²－４，ｃ＝ｂ＋８.仍然注意考虑两点：第一，保证ａｂｃ互质，知ｍ为奇数．第二，保证ｂ＞ａ，即解ｍ²－４＞４ｍ，得　ｍ＞２（１＋）．所以ｍ从5开始

6、依次取奇数，就得到ｄ８素勾股数序列如下：　　　　　　　　　ａ　　　　　ｂ　　　　ｃ202129说明：1.a列从上到下依次多8，b列从上到下依次多加8.　　　　　　2845533677852.各列个位数五个数一循环。44117125521651733.b比m²少4，c比m²多4.60221229682852937635736584437445.。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。k＝９时，ａ²＝９（２ｂ＋９）．设ａ＝３ｍ，ｂ＝（ｍ²－９）／２，ｃ＝ｂ＋９.仍要考虑两点：第一，保证ａｂｃ互质。即b中不含3因子且b是正整数，故知m为奇数且不含3因子。第二，保证b＞a，即解m

7、²－９＞６ｍ．得　ｍ＞３（１＋）．所以ｍ依次取大于等于９的奇数同时还要去掉３的倍数．就得到d9素勾股数序列如下:ａ　　　　　ｂ　　　　ｃ335665说明：1.a列从上到下本来应该依次多6，由于隔两行去掉了m是3的倍数那一行，398089所以依次多6，12，6，12。。。。。。b列的规律也因此而变。57176185692602692.各列个位数五个数一循环也随之而变。75308317874164253.b的2倍比m²少9，c的2倍比m²多9.93476485。。。。。。