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1、曇麓学术论文题目浅谈勾股姓名所在学院专业班级学号扌旨导教师日期扌商要：勾股数是一个神秘、特殊的自然数组。它吸引了无数学者的目光！本文将从勾股数的历史背景、构造、性质、以及判断方法去论述它。关键词：勾股定理勾股数直角三角形不定方程Subject:talkaboutHooksharesAuthor:MathematicsandcomputercollegeTheprofessionalofmathZhuJiangjiangPostaIcode：330038Abstract:Hooknumberisamysterious,
2、specialnaturalarray.Itattractedmanyscholarslook!Thispaperwillhooknumberofhistoricalbackground,structure,properties,anddiscussesitsjudgmentmethod・Keywords:hooknumberPythagoreanpropositionright-angletriangleDiophantineequation—、历史背景勾股数这个名称来源于我国公元前1世纪的古算书《周髀算经），书屮
3、记载了约公元前11世纪商高与周公的一段对话：“故折矩.以为勾广三，股修四，径隅五。”这里的“勾”指直角三角形中较短的直角边，“股”指另一条直角边，“径”指斜边，翻译成现在的语言是：由矩形对折而成的直角三角形。如果短直角边与长直角边的长分别是3和4,那么斜边就是5,这里给出了一组勾股数。能够成为直角三角形三边长度的三个正整数，被称为勾股数。由勾股定理我们知道,对于自然数a,b、C,如果，则a,b、c被称为一组勾股数。例如；3、4、5满足32+42=52,所以3・4、5就是一组勾股数，像这样的数组述冇很多，如：5、12、
4、13；7、24、25；9、40、41等。从古吋候起，人们就想知道，到底天有多高，地有多大?大约在公元前1100年，周武王的弟弟周公就曾向当时的一位学者商高求教：“……去天不可阶而舟，地不可得尺寸丽度，请问数安从出？”商高所捉供的测量方法是“勾股术”：“……故折矩，以为勾广三，股修四，径隅五。……”据说,在大禹治水的吋候，就已经运用“勾三股四弦五”的特殊情形进行测量。周公与商高的这段冇趣的对话载于我国古代数学著作《周髀算经》（公元前1世纪）。经过历代数学家的完善，便形成了勾股定理（也称商高定理）：直角三角形两直角边a、
5、b的平方和，等于斜边c的平方，即a2+/72=c2o在西方，人们把这个定理的发现与证明归功于古希腊的毕达哥拉斯，因而称之为毕达哥拉斯定理。满足勾股定理的正整数组称为勾股数（或毕达哥拉斯数）。公元263年，魏朝的刘徽在《九章算术》中提到32+42=52,52+122=132,72+242=252等。但是1945年，人们在对古巴比伦人遗留下來的一块数学泥板的研究中，惊讶地发现上面竟然刻有15组勾股数，其年代远在商高和毕达哥拉斯Z前，大约在公元前1900年到公元前1600年Z间。这些勾股数组表明，古巴伦人早已掌握了勾股定理
6、并很可能找到了一种求得勾股数的一般方法，只不过人们还不能从其他的泥板屮找出更多的证据来证明这一点。毕达哥拉斯学派倒是明确的给出了勾股数的一个公式：a=2n+l,b=2n2+2n,c==2n2+2n+l.其特点是八斜边与其中一直角边的差为1。另一个古希腊学者柏拉图（PR110,约公元前427年〜公元前347年）也给出了类似的式子：a=2n,b=n2-l,c=n2+lo此时斜边与其中一直角边Z茅为2。但是，他们给出的勾股数公式并不能给出全部的勾股数组。公元1世纪，我国古代数学名著《九章算术》捉出了一组求勾股数的式子，这组
7、式子相当于：a=-（m2-n2）9b=mn,2c=—（m2+n2）2到公元3世纪，大数学家刘徽用几何方法，证明了这个式子。这是迄今为止用于勾股数的最完美的表达式形式之一。二、勾股的认识与发现人类对于勾股数的认识可以说是源远流长，在占代的四大文明古国（中国、埃及、印腰、和巴比伦）的史册里鄙冇勾股数的记载。到底是谁最早发现，岁刀的风尘已淹没了许许多多历史的真相，但它的发现确是人类伟大而永远的财富。在教学研究中，我发现勾股数存在如下的规律：1）如果乳b、C是一组勾股数，那么h、kb、kc也是一组勾股数（其中的“k”是正整数
8、）。比如3、4、5是一组勾股数（k是“2“或“3”），则6、8、10；9、12、15等必然也是勾股数。验证得知：由a2+b2=c2.所以血)2+(肋)2=k2a2+k2b2=ka2+/?2)=k2c2=(kc)2。2)如果a=n2-l,b=2n,c=n2+l(n>l),那么a、b、c是勾股数。验证—K：因为a2+b2=(n2-1)2+4n2=
