探索“规形”的性质及其变式

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1、探索“规形”的性质及其变式天津市第四十三中学有这么一个“基本图形”如图1，这种图形似圆规，我们不妨称之为“规形”，它有一条重要性质：．下面我们来探索其性质及其变式。图1∠BDC=∠A+∠B+∠CBACDF图3BACDE图2一、规形的基本性质证明及简单变形途径一：利用三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角和法一：如图2，连结ＡＤ并延长到Ｅ，∵∠BDE=∠B+∠BAD，∠CDE=∠C+∠CAD，∴∠BDC=∠BDE+∠EDC=∠B+∠BAD+∠C+∠CAD，又∵∠BAD+∠CAD=∠CAB，∴∠BDC=∠BAC+∠B+∠C法二：如图3，延长ＣＤ交ＡＢ于Ｆ，∵∠BD

2、C=∠CFB+∠B，又∵∠CFB=∠A+∠C，GBACD图4BACD图5∴∠BDC=∠A+∠B+∠C法三：如图4，延长ＢＤ交ＡＣ于Ｇ，∵∠BDC=∠CGD+∠C，又∵∠CGD=∠A+∠B，∴∠BDC=∠A+∠B+∠C途径二：利用三角形的内角和等于180法四：如图5，连结BC，∵∠DBC+∠DCB=180－∠BDC，又∵∠DBC+∠DCB=180－（∠A+∠ABD+∠ACD），∴∠BDC=∠A+∠B+∠C。这个结论的证明很简单，但它的应用却非常广泛，特别是运用这条性质解答相关问题既快又准确。如果我们让D点动起来会是怎样的效果呢？结论还成立吗？我们不妨来研究一下。变

3、式1-1如图6，当点D向下运动至与点B、C在同一直线时（此时∠BDC=180°），则有∠BDC=∠A+∠B+∠C=180°（即三角形内角和180°）变式1-2如图7，当点D向下运动至BC所在直线下方时，则有（即四边形内角和360°）第4页共4页图7图6变式2-1如图8，当点D向右运动至与点A、C在同一直线时，则有，（实际，即三角形的一个外角等于不相邻的两个内角的和，）变式2-2如图9，当点D向右运动至AC所在直线右方时（蝶形），则有图9图8二、规形中∠BDC与∠A、∠B、∠C及其内角、外角平分线夹角的关系变式3-1-1如图10，∠ABD、∠ACD的平分线BE、C

4、E交于点E，则有2∠E=∠A+∠BDC变式3-1-2如图11，当点D向下运动至与点B、C在同一直线（此时∠BDC=180°），∠ABC、∠ACB的平分线BE、CE交于点E时，则有变式3-2如图12，∠BAC、∠ABD的平分线AE、BE交于点E，则有2∠E=360°+∠C－∠BDC变式3-3如图13，∠BAC、∠ACD的平分线AE、CE交于点E，则有2∠E=360°+∠B－∠BDC图11图12图13图10变式4-1如图14，∠ABD、∠ACD外角的平分线BE、CE交于点E，则有第4页共4页2∠E=360°－∠A－∠BDC变式4-2如图15，∠BAC、∠ABD外角的

5、平分线AE、BE交于点E，则有2∠E=∠BDC－∠C变式4-3如图16，∠BAC、∠ACD外角的平分线AE、CE交于点E，则有2∠E=∠BDC－∠B图15图14图16变式5-1如图17，∠BAC的平分线AE与∠ABD外角的平分线BE交于点E，则有2∠E=180°－∠BDC+∠C变式5-2如图18，∠BAC外角的平分线AE与∠ABD的平分线BE交于点E，则有2∠E=180°－∠BDC+∠C变式5-3如图19，∠BAC的平分线AE与∠ACD外角的平分线CE交于点E，则有2∠E=180°－∠BDC+∠B变式5-4如图20，∠BAC外角的平分线AE与∠ACD的平分线CE

6、交于点E，则有2∠E=180°－∠BDC+∠B变式5-5如图21，∠ABD的平分线BE与∠ACD外角的平分线CE交于点E，则有2∠E=180°－∠BDC+∠A变式5-6如图22，∠ABD外角的平分线BE与∠ACD的平分线CE交于点E，则有2∠E=180°－∠BDC+∠A图17图19图18图20图22图21第4页共4页变式6-1，如图23，∠ABD的角平分线BE与∠BDC的角平分线的反向延长线DE交于点E，则有2∠E=∠A+∠C变式6-2，如图24，∠ACD的角平分线CE与∠BDC的角平分线的反向延长线DE交于点E，则有2∠E=∠A+∠B变式6-3，如图25，∠B

7、AC的角平分线AE与∠BDC的角平分线DE交于点E，则有2∠E=∠B－∠C图23图24图25第4页共4页