“规形”的性质与应用

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1、探索“规形”的性质及应用有这么一个“基本图形”如图1，这种图形似圆规，我们不妨称之为“规形”，它有一条重要性质：∠BDC=∠A+∠B+∠C．下面我们结合实例来探索此性质及其应用．一、探索“性质”的证明途径途径一：利用三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角和法一：如图１，连结ＡＤ并延长到Ｅ，∵∠BDE=∠B+∠BAD，∠CDE=∠C+∠CAD，∴∠BDC=∠BDE+∠EDC=∠B+∠BAD+∠C+∠CAD，又∵∠BAD+∠CAD=∠CAB，∴∠BDC=∠BAC+∠B+∠CGBACD图３BACD图４BACDF图２BACDE图１法二：如图２，延长ＣＤ

2、交ＡＢ于Ｆ，∵∠BDC=∠CFB+∠B，又∵∠CFB=∠A+∠C，∴∠BDC=∠A+∠B+∠C法三：如图３，延长ＢＤ交ＡＣ于Ｇ，∵∠BDC=∠CGD+∠C，又∵∠CGD=∠A+∠B，∴∠BDC=∠A+∠B+∠C途径二：利用三角形的内角和等于180法四：如图４，连结BC，∵∠BDC+∠DCB=180－∠BDC，又∵∠BDC+∠DCB=180－∠A+∠ABD+∠ACD，∴∠BDC=∠A+∠B+∠C，这个结论的证明很简单，但它的应用却非常广泛，特别是运用这条性质解答相关问题既快又准确，下面略举几例，供同学们参考．二、“性质”的应用1．求角度-3-例1．

3、如图５，DC平分∠ADB，EC平分∠AEB，若∠DAE=，∠DBE=，图５CDAEB则∠DCE=（用，表示）．分析：本题有多中解法，但利用“规形”性质将会更简便．解：由“规形”性质得：=+∠ADB+∠AEB，∠DCE=+∠ADC+∠AEC，又∵∠ADC+∠AEC=∠ADB+∠AEB，GBACDEF图６∴∠DCE=+∠ADB+∠AEB=+（－）＝＋，故填＋例２．如图６，ＢＥ是∠ABD的平分线，CF是∠ACD的平分线，BE与CF交于G，若∠BDC=140，∠BGC=110，则∠A的大小是（）（A）70（B）75（C）80（D）85解：∵ＢＥ是∠ABD

4、的平分线，CF是∠ACD的平分线，∴∠ABD=2∠GBD，∠ACD=2∠GCD，由“规形”性质得：∠BDC=∠GBD+∠GCD+∠BGC………①∠BDC=2∠GBD+2∠GCD+∠A…………②，②－①×２，得∠A＝２∠ＢＧＣ－∠ＢＤＣ＝２×110－140＝８0，故应选（Ｃ）．例３．如图７，在七角星中，已知∠B＝14，∠Ｃ＝15，∠Ｆ＝16，并且ＢＡＣＤＥＦＧＯＭ图７∠A＋∠Ｄ+∠Ｅ＋∠Ｇ＝·４５，则＝　　　　　．解：由“规形”性质得：∠ＦＭＤ＝∠ＡＭＢ＝∠Ｂ＋∠Ｆ＋∠Ｃ，∠ＤＯＢ＝∠ＦＯＧ＝∠Ａ＋∠Ｄ＋∠Ｃ，而∠Ｅ＋∠ＦＭＤ＋∠ＤＯＢ＝１８０，∴

5、∠A+∠B+∠C＋∠Ｄ+∠Ｅ＋∠Ｆ＋∠Ｇ＝１８０，∴·４５＋１４＋１５＋１６＝１８０，∴＝３．２．求角度和例4．如图8，五角星，求∠A+∠B+∠C＋∠Ｄ+∠Ｅ＝　　　　　　解：设ＢＤ、ＣＥ相交于Ｏ，由“规形”性质得：-3-ＢＡＣＤＤＯ图８ＢＡＣＤＥＦＯ图９∠ＣＯＤ＝∠Ａ＋∠Ｃ＋∠Ｄ，又因∠ＣＯＤ＝∠ＢＯＥ，∠ＢＯＥ＋∠Ｂ＋∠Ｅ＝180，故∠A+∠B+∠C＋∠Ｄ+∠Ｅ＝180．例5．如图9，∠A+∠B+∠C＋∠Ｄ+∠Ｅ＋∠Ｆ＝　　　　．解：设ＡＢ、ＥＤ相交于Ｏ，由“规形”性质得：∠ＡＯＥ＝∠＋∠Ｆ＋∠Ｅ，又因为∠ＤＯＢ＝∠ＡＯＥ，∠ＤＯＢ＋∠Ｂ＋∠

6、Ｃ＋∠Ｄ＝360，ＣＡＢＤＥＦＯ图１０故∠A+∠B+∠C＋∠Ｄ+∠Ｅ＋∠Ｆ＝360．例6．如图10，∠A+∠B+∠C＋∠Ｄ+∠Ｅ＋∠Ｆ＝　　　解：设ＡＢ、ＥＤ相交于Ｏ，由“规形”性质得：∠ＢＯＤ＝∠ＡＯＥ＝∠B+∠C＋∠Ｄ，而∠Ａ+∠ＡＯＥ＋∠Ｅ＋∠Ｆ＝360，∴∠A+∠B+∠C＋∠Ｄ+∠Ｅ＋∠Ｆ＝360．-3-