变式有限 探索无限

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1、·专论荟萃·数学通讯——2O11年第ll、12期(上半月)83变式有限探索无限厉倩(湖南省长沙市15中，410007)对于解析几何问题，学生最担心的是“计算”．=0．我们已经做了很多工作帮助学生减少计算量，这所以，A，G，N三点共线．些工作主要可以分为两个方面，一方面是利用平若直线AB不是y轴而：是一般的直线(见例面几何知识减少计算量，另一方面是归纳一些代2)，结论仍然成立，沿用上面的证明方法，计算量数运算的技巧和方法减少计算量．本文想用向量会急剧增加．方法帮助学生减少计算量．例2已知椭圆r：z+2y。一8，直线Z：y一2012年北京高考理科第

2、19题(见例1)的核心z+4，z。：y—kzX+4与曲线r分别交于不同的是第(2)小题，因为这个小题中曲线C是具体数四点M，N和A，B，直线f0：y—l与直线BM交于值，计算量不大，如果变为较一般字母(见例2、3、点G，求证：A，G，N三点共线4)，则没有几个人能坚持做下去了．而利用向量方再将问题一般化，可以得到下面的结果(例3、法去做，三个题的难易程度相差不远．例4)．例1已知曲线C：(5一m)x+(，，z一2)y。一例3已知椭圆I1：b2z一F,q2Y=a2b(口>b8(m∈R)．>O)，直线z1：Y=k1X+1"1，z2：Y=kz+n(n

3、>6)(1)若曲线C是焦点在X轴上的椭圆，求m的与曲线r分别交于不同的四点M，N和A，B，直线取值范围；1．2z。：Y=一0与直线BM交于点(，求证：A，G，N三点(2)设m=4，曲线C与y轴的交点为A，B(点7IA位于B的上方)，直线Y—kx+4与曲线C交于共线．不同的两点M，N，直线Y一1与直线BM交于点显然，用通常的解析几何的方法的话，例3的G，求证：A，G，N三点共线．计算量比例2的计算量大得多．解(1)略．(2)当m一4时，椭圆的方程为X。例4已知椭圆r：b2X+a。Y。一口b(口>b+2y一8．联立椭圆方程z+2y。一8与直线方程>

4、O)，过椭圆I1外一点P(，)作直线z、z分别与y=kx+4得(2k+1)x。+16kx+24—0，设曲线I1分别交于不同的四点M，N和A，B，直线：M(x，y1)，N(xz，yz)，则十zz一一，b2眦+口ny一口b2与直线BM交予点G，求证：A，G，N三点共线．24一。用通常的解析几何的方法，例4的计算量会使又A(O，2)，B(0，一2)，所以直线BM的方程为：人望而却步．然而，如果我们选择恰当的方法，例2、例3、例一z一2，由此得点G的坐标为G(，。zlYlT4的难易程度基本相当，为了便于大家理解本文的方法，先以例2为基础介绍两种方法．下

5、面的引理1)．于是k^G一一，kAN一丝二，因此，OX11源自于课本(证明留给读者)，本文多次利用这个志AN一是一丝+引理．引理1若O，A，B三点：不共线，一．(kx2+4)一2．(kxl+4)+2一+·，则A，B，C三点共线的充要条件是+Z’Z4k+2一1．一·±一了4k一XlX2警例2的证法1如图1，直线z与轴和直线84数学通讯——2O11年第11、12期(上半月)·专论荟萃·PH：：=：l。的交点分别为P(0，4)，H(-，1)，作MT上Y庀⋯PM上PN‘轴于T，NS_l_y轴于S，Z。与YJ设z与z。相交于点D，同理可证PD一Py轴交于

6、Q．2PA~面PB，以下同证法1．把y一是1z+4代人工1：z。fD

7、一点评以上证明先利用某些点的纵坐标的差+2y。一8，化简得(1十i等于相应直角三角形的直角边长，然后利用相似2k)。+16klz+24—0，设／．—三角形的性质和向量的性质，帮助减少计算量．M(x1，Y1)，N(x2，Y2)，则1例4的证法l如图J一16k．图1十z2~XlX22，设直线2、Z分别与f0交P于点H，D，作PEJ_轴于Bi_=嚼24，验证知z一一211x2．E，MTJ-z轴于T，HQ上XfS／一0QEj因为MT=IX1I，NS—l2l，HQ—lHI，轴于Q，NS

8、上z轴于S．二／又z，z，z同号，所以HQ一2M丁T干~NS当Z不平行于坐标轴．时，可设Z：Y—n—k(x—图2又Rt／XPMT09RtAPHQ∽Rt／XPNS，所以)，代人椭圆方程消去PH=而2PM丽~PN．Y得b。。+a。En+k(—)]。一122b。．设l。与l。相交于点D，同理可证PD令t=m—z，有b(m一￡)+n(一kt)一2PA．PRa。b。，展开得PA+PB(6。+12走。)t一2(6m+12。)t+6。m+a。。由D，G，H三点共线，得一·+·Pg(其中+一1)，也可写成一ab一0．所以一·2PA下．~P+·丽2PN丽．①￡+

9、￡：一b2m-~-a2n．b．，或一·+·丽2PM．-P~②o十Ⅱ·’z一—1一‘由B，G，M三点共线和①知设M(x1，Y1)，N(x2，Y2)，H(