暑假赛前培训（2）教师版

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1、深圳市教育培训中心2010年暑假华杯赛赛前培训经典例题分析（2）姓名指导教师：陟乃赋联系方式：Email：zhinaifu@163.com手机：13528884439一、准确填空：1、将1999表示为两个质数之和：1999＝□+□，在□中填入质数，共有种表示方法?解：由奇偶数的性质可知，1999是奇数，因此1999要能表示成两个质数之知，其中必定有一个是偶数.然而，既是偶数又是质数的自然数只有一个，就是2，没有其他可能.因此，另一个数是1999-2＝1997，而1997又恰好是质数，满足题目要求.答：19

2、99＝2+1997，只有一种表示方法.评注：2是惟一的一个既是偶数又是质数的自然数，它在质数中的地位很特别，其他的质数都是奇数.了解这一点是解答本题的关键.同学们都知道(记住)100以内的质数有哪些，但对于三位数、四位数中的质数可能就不清楚了.例如，1999和1997都是质数，那么如何来判定它们的确是质数呢?判定质数最基本的方法是“筛法”，我们不仔细叙述了.对于1997(或1999)，取为使得≥1997的最小自然数，因为＝1936＜1997＜＝2025，即=45.1997如果不是质数，那么它可以分解为两

3、个或两个以上的质因子的乘积，因此其中至少有一个质因子是小于45(不然的话，所有质因子的乘积必定大于1997)，这样一来，只要判断在小于45的质数中有没有是1997的因子的，这只要用试除法即可完成.对2，3，5，11，一眼即可看出，其余的7，13，17，19，23，29，31，37，41，43逐一试除，可知无一能整除1997.由此可知1997为质数，对1999也一样.1997和1999都是质数，且1999-1997＝2，像这种相差为2的两个质数，称为“孪生质数”.这种数有很多，例如(3，5)，(5，7)，

4、(11，13)，(17，19)，(41，43)，……，(1997，1999)，还可举出更大的一些，如(4967，4969).那么，这种“孪生质数”是否有无穷多个(对)呢?即是否可以无限地数下去呢?我们已经知道，质数是有无穷多个的，没有最大的一个!人们猜测，“孪生质数”也有无穷多个，这就是著名的“孪生质数猜想”，它和“哥德巴赫猜想”齐名，后者即是“第9页共9页深圳市教育培训中心任何一个大于2的偶数都可以表示为两个质数之和”.孪生素数猜想也是很难的，至今还没有被数学家证明.这两个猜想之间是有联系的，实际上，它

5、们是“等价的”.2、澳门是世界上人口密度最大的地区之一，它由一个半岛和两个小岛组成.已知澳门的人口为43万人，其中90%居住在半岛上，半岛的面积为7平方千米，问：半岛上平均每平方千米有万人?(取两位小数)解：43×90%÷7＝38.7÷7＝5.53(万).答：澳门半岛上平均每平方千米有5.53万人.二、谨慎推理：3、图7-1是由9个等边三角形拼成的六边形.已知中间最小的等边三角形的边长是1，问：这个六边形的周长是多少?图7-1解：将图中正三角形编号1，2，…，9由图中可以看出各三角形边长之间的关系，从而

6、可以建立方程来求解.中间的△9的边长为1.设最大的正三角形△1的边长为x，则△2和△3的边长都是x-1，△4和△5的边长都是x-2，△6、△7、△8的边长都是x-3，而△6和△8的边长之和等于△1的边长，故得方程：2×(x-3)=x.所以2x-6=x，解得x=6.所以这个六边形的周长是6+2×(6-1)+2×(6-2)+2×(6-3)＝6+10+8+6＝30.答：所求六边形的周长是30.评注：这个题还可以改为“如果最小的正三角形的面积是1，求这个六边形的面积”.用划分成小三角形的方法可以知道：边长为2的

7、正三角形可以划分为4个边长为1的正三角形，边长为3的正三角形可以划分为9个边长为1的正三角形，……边长为的正三角形可以划分为个边长为1的正三角形(=2,3,4,…).因此，正三角形A的边长是正三角形B的边长的倍，则正三角形A的面积是正三角形B的面积的倍.由原题的解答可知：△1，△2，△3，△4，△5，△6，△7，△8的边长各是△第9页共9页深圳市教育培训中心9的边长的6，5，5，4，4，3，3，3倍，因此它们的面积分别是△9的面积的倍，已知△9的面积为1，则九个正三角形的面积之和为：.故该六边形的面积是1

8、46.图7-24、如图7-2所示，一个正六边形的苗圃，用平行于苗圃边缘的直线把它分成许多相等的正三角形，在三角形的顶点上都栽种树苗，已知苗圃的最外边一圈栽有90棵，问：该苗圃中共栽树苗多少棵?解：苗圃中的树苗可以看成是按正六边形的边界由外向里一圈一圈地栽种的，每相邻两圈相差6棵，已知最外圈种有90＝6×15棵，则第2圈有6×14棵，第3圈有6×13棵，……，第15圈有6×1＝6棵，最里面(正六边形中心处)有1棵.因此，苗圃中一