2012届高考数学第一轮函数的最值专项复习教案

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1、2012届高考数学第一轮函数的最值专项复习教案2.10函数的最值  ●知识梳理  求函数最值的常用方法有:  (1)配方法:将函数解析式化成含有自变量的平方式与常数的和,然后根据变量的取值范围确定函数的最值;  (2)判别式法:若函数y=f(x)可以化成一个系数含有y的关于x的二次方程a(y)x2+b(y)x+c(y)=0,则在a(y)≠0时,由于x、y为实数,故必须有Δ=b2(y)-4a(y)•  c(y)≥0,从而确定函数的最值,检验这个最值在定义域内有相应的x值.  (3)不等式法:利用平均值不等式取等号的条件确定函数的最值.  (4)换元法:通过变量代换达到化繁为简、化难为

2、易的目的,三角代换可将代数函数的最值问题转化为三角函数的最值问题.  (5)数形结合法:利用函数图象或几何方法求出函数的最值.  (6)函数的单调性法.  ●点击双基  1.(2003年春季北京)函数f(x)=的最大值是  A. B. C. D.  解析:∵1-x(1-x)=1-x+x2=(x-)2+≥,  ∴f(x)=≤,f(x)max=.  答案:D  2.若x2+y2=1,则3x-4y的最大值为  A.3  B.4  C.5  D.6  解析:∵x2+y2=1,∴可设x=cosα,y=sinα.  ∴3x-4y=3cosα-4sinα=5sin(α+)≤5.  答案:C  3

3、.(2004年春季安徽)函数y=-x(x≥0)的最大值为___________________.  答案:  4.设x>0,y>0且3x+2y=12,则xy的最大值是___________.  解析:∵x>0,y>0,  ∴3x•2y≤()2=62xy≤6(当且仅当3x=2y时等号成立).  答案:6  5.函数y=

4、x-1

5、+

6、x-3

7、的最小值是______________.  解析:在数轴上,设1、3、x对应的点分别是A、B、P,∴y=

8、x-1

9、+

10、x-3

11、=

12、PA

13、+

14、PB

15、≥

16、AB

17、=2.  答案:2  ●典例剖析  【例1】(2004年上海,18)某单位用木料制作如图所示

18、的框架,框架的下部是边长分别为x、y(单位:m)的矩形,上部是等腰直角三角形,要求框架围成的总面积为8m2,问x、y分别为多少时用料最省?(精确到0.001m)  解:由题意得x•y+•x•=8,∴y==-(0<x<4).  于是,框架用料长度为  L=2x+2y+2()=(+)x+≥2=4.  当且仅当(+)x=,即x==8-4时,等号成立.  此时,x≈2.343,y=2≈2.828.故当x为2.343m,y为2.828m时,用料最省.  【例2】设f(t)=  g(t)=-t+(0≤t≤40,t∈N*).求S=f(t)g(t)的最大值.  解:当0≤t<20时,S=(t+11

19、)•(-t+)=-(t+22)(t-43).∵=10.5,又t∈N,∴t=10或11时,Smax=176.  当20≤t≤40时,S=(-t+41)(-t+)=(t-41)(t-43).∴t=20时,Smax=161.  综上所述,S的最大值是176.  【例3】设0<a<1,x和y满足logax+3logxa-logxy=3,如果y有最大值,求这时a和x的值.  解:原式可化为logax+-=3,即logay=loga2x-3logax+3=(logax-)2+,知当logax=时,logay有最小值.  ∵0<a<1,∴此时y有最大值a.  根据题意有a=a=.这时x=a=()

20、=.  评述:本题是已知函数的最值,求函数式中的字母参数的值.这类问题,也是常见题型之一.  深化拓展  已知f(x)=2+log3x(1≤x≤9),求函数g(x)=[f(x)]2+f(x2)的最大值与最小值.  解:由f(x)的定义域为[1,9]可得g(x)的定义域为[1,3].  又g(x)=(2+log3x)2+(2+log3x2)=(log3x+3)2-3,  ∵1≤x≤3,∴0≤log3x≤1.  ∴当x=1时,g(x)有最小值6;  当x=3时,g(x)有最大值13.  答案:当x=1时,g(x)有最小值6;  当x=3时,g(x)有最大值13.  ●闯关训练  夯实基

21、础  1.若奇函数f(x)在[a,b]上是增函数,且最小值是1,则f(x)在[-b,-a]上是  A.增函数且最小值是-1  B.增函数且最大值是-1  C.减函数且最小值是-1  D.减函数且最大值是-1  解析:f(a)=1,∴f(-a)=-1.  答案:B  2.(2003年北京)将长度为1的铁丝分成两段,分别围成一个正方形和一个圆形.要使正方形与圆的面积之和最小,正方形的周长应为______________.  解析:设正方形周长为x,则圆的周长为1-x,半径

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