2012届高考数学第一轮函数的最值专项复习教案

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1、2012届高考数学第一轮函数的最值专项复习教案2.10函数的最值　　●知识梳理　　求函数最值的常用方法有：　　（1）配方法：将函数解析式化成含有自变量的平方式与常数的和，然后根据变量的取值范围确定函数的最值；　　（2）判别式法：若函数y=f（x）可以化成一个系数含有y的关于x的二次方程a（y）x2+b（y）x+c（y）=0，则在a（y）≠0时，由于x、y为实数，故必须有Δ=b2（y）－4a（y）•　　c（y）≥0，从而确定函数的最值，检验这个最值在定义域内有相应的x值.　　（3）不等式法：利用平均值不等式取等号的条件确定函数的最值.　　（4）换元法：通过变量代换达到化繁为简、化难为

2、易的目的，三角代换可将代数函数的最值问题转化为三角函数的最值问题.　　（5）数形结合法：利用函数图象或几何方法求出函数的最值.　　（6）函数的单调性法.　　●点击双基　　1.（2003年春季北京）函数f（x）=的最大值是　　A.　B.　C.　D.　　解析：∵1－x（1－x）=1－x+x2=（x－）2+≥，　　∴f（x）=≤，f（x）max=.　　答案：D　　2.若x2+y2=1，则3x－4y的最大值为　　A.3　　B.4　　C.5　　D.6　　解析：∵x2+y2=1，∴可设x=cosα，y=sinα.　　∴3x－4y=3cosα－4sinα=5sin（α+）≤5.　　答案：C　　3

3、.（2004年春季安徽）函数y=－x（x≥0）的最大值为___________________.　　答案：　　4.设x＞0，y＞0且3x+2y=12，则xy的最大值是___________.　　解析：∵x＞0，y＞0，　　∴3x•2y≤（）2＝62xy≤6（当且仅当3x＝2y时等号成立）.　　答案：6　　5.函数y=

4、x－1

5、+

6、x－3

7、的最小值是______________.　　解析：在数轴上，设1、3、x对应的点分别是A、B、P，∴y=

8、x－1

9、+

10、x－3

11、=

12、PA

13、+

14、PB

15、≥

16、AB

17、=2.　　答案：2　　●典例剖析　　【例1】（2004年上海，18）某单位用木料制作如图所示

18、的框架，框架的下部是边长分别为x、y（单位：m）的矩形，上部是等腰直角三角形，要求框架围成的总面积为8m2，问x、y分别为多少时用料最省？（精确到0.001m）　　解：由题意得x•y+•x•=8，∴y==－（0＜x＜4）.　　于是，框架用料长度为　　L=2x+2y+2（）=（+）x+≥2=4.　　当且仅当（+）x=，即x==8－4时，等号成立.　　此时，x≈2.343，y=2≈2.828.故当x为2.343m，y为2.828m时，用料最省.　　【例2】设f（t）=　　g（t）=－t+（0≤t≤40，t∈N*）.求S=f（t）g（t）的最大值.　　解：当0≤t＜20时，S=（t+11

19、）•（－t+）=－（t+22）（t－43）.∵=10.5，又t∈N，∴t=10或11时，Smax=176.　　当20≤t≤40时，S=（－t+41）（－t+）=（t－41）（t－43）.∴t=20时，Smax=161.　　综上所述，S的最大值是176.　　【例3】设0＜a＜1，x和y满足logax＋3logxa－logxy＝3，如果y有最大值，求这时a和x的值.　　解：原式可化为logax＋－＝3，即logay＝loga2x－3logax＋3＝（logax－）2＋，知当logax＝时，logay有最小值.　　∵0＜a＜1，∴此时y有最大值a.　　根据题意有a＝a＝.这时x＝a＝（）

20、＝.　　评述：本题是已知函数的最值，求函数式中的字母参数的值.这类问题，也是常见题型之一.　　深化拓展　　已知f（x）=2+log3x（1≤x≤9），求函数g（x）=［f（x）］2+f（x2）的最大值与最小值.　　解：由f（x）的定义域为［1，9］可得g（x）的定义域为［1，3］.　　又g（x）=（2+log3x）2+（2+log3x2）=（log3x+3）2－3，　　∵1≤x≤3，∴0≤log3x≤1.　　∴当x=1时，g（x）有最小值6；　　当x=3时，g（x）有最大值13.　　答案：当x=1时，g（x）有最小值6；　　当x=3时，g（x）有最大值13.　　●闯关训练　　夯实基

21、础　　1.若奇函数f（x）在［a，b］上是增函数，且最小值是1，则f（x）在［－b，－a］上是　　A.增函数且最小值是－1　　B.增函数且最大值是－1　　C.减函数且最小值是－1　　D.减函数且最大值是－1　　解析：f（a）=1，∴f（－a）=－1.　　答案：B　　2.（2003年北京）将长度为1的铁丝分成两段，分别围成一个正方形和一个圆形.要使正方形与圆的面积之和最小，正方形的周长应为______________.　　解析：设正方形周长为x，则圆的周长为1－x，半径