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时间:2018-11-28
《2012届高考数学第一轮三角函数的最值专项复习教案》由会员上传分享,免费在线阅读,更多相关内容在工程资料-天天文库。
1、2012届高考数学第一轮三角函数的最值专项复习教案!4.9三角函数的最值●知识梳理1.y=asinx+bcosx型函数最值的求法.常转化为y=sin(x+),其中tan=.2.y=asin2x+bsinx+c型.常通过换元法转化为y=at2+bt+c型.3.y=型.(1)转化为型1.(2)转化为直线的斜率求解.4.利用单调性.●点击双基1.(2000年全国)若0<α<β<,sinα+cosα=a,sinβ+cosβ=b,则A.a<b<1 B.a>b>1C.ab<1 D.ab>1解析:a=sin(α+),b=sin(β+),0<α+<β+<,∴1<a<b,ab>1.答案
2、:D2.函数f(x)=cos2x+sinx在区间[-,]上的最小值是A. B.-C.-1 D.解析:f(x)=1-sin2x+sinx=-(sinx-)2+.∴当x=-时,ymin=.答案:D3.函数y=x-sinx在[,π]上的最大值是A.-1 B.+1C.- D.π解析:y=x-sinx在[,π]上是增函数,∴x=π时,ymax=π.答案:D4.y=的最大值是_________,最小值是_________.解析一:y==1-.当sinx=-1时,得ymin=-1,当sinx=1时,得ymax=.解析二:原式sinx=(∵y≠1)
3、
4、≤1-1≤y≤.∴y
5、max=,ymin=-1.答案: -15.y=(0<x<π)的最小值是________.解析一:y=ysinx+cosx=2sin(x+)=2sin(x+)=(x∈(0,π))0<≤1y≥.∴ymin=.解析二:y可视为点A(-sinx,cosx),B(0,2)连线的斜率kAB,而点A的轨迹x∈(0,π)是单位圆在第二、三象限的部分(如下图),易知当A(-,)时,ymin=kAB=.答案:●典例剖析【例1】函数y=acosx+b(a、b为常数),若-7≤y≤1,求bsinx+acosx的最大值.剖析:函数y=acosx+b的最值与a的符号有关,故需对a分类讨论.解:当a>0时,a
6、=4,b=-3;当a=0时,不合题意;当a<0时,a=-4,b=-3.当a=4,b=-3时,bsinx+acosx=-3sinx+4cosx=5sin(x+)(tan=-);当a=-4,b=-3时,bsinx+acosx=-3sinx-4cosx=5sin(x+)(tan=).∴bsinx+acosx的最大值为5.【例2】求函数y=cotsinx+cotxsin2x的最值.剖析:先将切函数化成弦函数,再通过配方转化成求二次函数的最值问题.解:y=•sinx+•2sinxcosx=2(cosx+)2+.∵sinx≠0,∴cosx≠±1.∴当cosx=-时,y
7、有最小值,无最大值.评述:这是个基本题型,解题时要注意式中的隐含条件.【例3】求函数y=的最大值和最小值.剖析:此题的解法较多,一是利用三角函数的有界性;二是数形结合法,将y看成是两点连线的斜率;三是利用万能公式换算,转化成一元函数的最值问题(由于万能公式不要求掌握,所以此方法只作了解即可).解法一:去分母,原式化为sinx-ycosx=2-2y,即sin(x-)=.故≤1,解得≤y≤.∴ymax=,ymin=.解法二:令x1=cosx,y1=sinx,有x12+y12=1.它表示单位圆,则所给函数y就是经过定点P(2,2)以及该圆上的动点M(cosx,sinx)的直线PM的斜率
8、k,故只需求此直线的斜率k的最值即可.由=1,得k=.∴ymax=,ymin=.评述:数形结合法是高考中必考的数学思维方法,对此读者要有足够的重视.●闯关训练夯实基础1.函数y=log2(1+sinx)+log2(1-sinx),当x∈[-,]时的值域为A.[-1,0] B.(-1,0]C.[0,1) D.[0,1]解析:y=log2(1-sin2x)=log2cos2x.当x=0时,ymax=log21=0;当x=时,ymin=-1.∴值域为[-1,0].答案:A2.当y=2cosx-3sinx取得最大值时,tanx的值是A. B.- C. D.4解析:y=s
9、in(-x)(其中tan=).y有最大值时,应sin(-x)=1-x=2kπ+-x=2kπ+-.∴tanx=-tan(-x)=-tan(2kπ+-)=-cot=-=-.答案:B3.函数y=的最大值是_______,最小值是_______.解析:∵y===3-,∴当sinx=1时,ymax=3-=;当sinx=-1时,ymin=-4.答案: -44.在△ABC中,a=sin(A+B),b=sinA+sinB,则a与b的大小关系为_______.解析:a=sinAcosB+cosAs
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