2012届高考数学第一轮三角函数的最值专项复习教案

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1、2012届高考数学第一轮三角函数的最值专项复习教案　　4.9三角函数的最值　　●知识梳理　　1.y=asinx+bcosx型函数最值的求法.　　常转化为y=sin（x+），其中tan=.　　2.y=asin2x+bsinx+c型.　　常通过换元法转化为y=at2+bt+c型.　　3.y=型.　　（1）转化为型1.　　（2）转化为直线的斜率求解.　　4.利用单调性.　　●点击双基　　1.（2000年全国）若0＜α＜β＜，sinα+cosα=a，sinβ+cosβ=b，则　　A.a＜b＜1　　B.a＞b＞1　　C.ab＜1　　D.ab＞1　

2、　解析：a=sin（α+），b=sin（β+），0＜α+＜β+＜，∴1＜a＜b，ab＞1.　　答案：D　　2.函数f（x）=cos2x+sinx在区间［－，］上的最小值是　　A.　　B.－　　C.－1　　D.　　解析：f（x）=1－sin2x+sinx=－（sinx－）2+.　　∴当x=－时，ymin=.　　答案：D　　3.函数y=x－sinx在［，π］上的最大值是　　A.－1　　B.+1　　C.－　　D.π　　解析：y=x－sinx在［，π］上是增函数，∴x=π时，ymax=π.　　答案：D　　4.y=的最大值是_________，最

3、小值是_________.　　解析一：y==1－.　　当sinx=－1时，得ymin=－1，当sinx=1时，得ymax=.　　解析二：原式sinx=（∵y≠1）　　

4、

5、≤1－1≤y≤.∴ymax=，ymin=－1.　　答案：　－1　　5.y=（0＜x＜π）的最小值是________.　　解析一：y=ysinx+cosx=2sin（x+）=2　　sin（x+）=（x∈（0，π））0＜≤1y≥.　　∴ymin=.　　解析二：y可视为点A（－sinx，cosx），B（0，2）连线的斜率kAB，而点A的轨迹　　x∈（0，π）是单位圆在第二、三

6、象限的部分（如下图），易知当A（－，）时，ymin=kAB=.　　答案：　　●典例剖析　　【例1】函数y=acosx+b（a、b为常数），若－7≤y≤1，求bsinx+acosx的最大值.　　剖析：函数y=acosx+b的最值与a的符号有关，故需对a分类讨论.　　解：当a＞0时，a=4，b=－3；　　当a=0时，不合题意；　　当a＜0时，a=－4，b=－3.　　当a=4，b=－3时，bsinx+acosx=－3sinx+4cosx=5sin（x+）（tan=－）；　　当a=－4，b=－3时，bsinx+acosx=－3sinx－4cos

7、x=5sin（x+）（tan=）.　　∴bsinx+acosx的最大值为5.　　【例2】求函数y=cotsinx+cotxsin2x的最值.　　剖析：先将切函数化成弦函数，再通过配方转化成求二次函数的最值问题.　　解：y=•sinx+•2sinxcosx=2（cosx+）2+.　　∵sinx≠0，∴cosx≠±1.　　∴当cosx=－时，y有最小值，无最大值.　　评述：这是个基本题型，解题时要注意式中的隐含条件.　　【例3】求函数y=的最大值和最小值.　　剖析：此题的解法较多，一是利用三角函数的有界性；二是数形结合法，将y看成是两点连线

8、的斜率；三是利用万能公式换算，转化成一元函数的最值问题（由于万能公式不要求掌握，所以此方法只作了解即可）.　　解法一：去分母，原式化为sinx－ycosx=2－2y，即sin（x－）=.　　故≤1，解得≤y≤.　　∴ymax=，ymin=.　　解法二：令x1=cosx，y1=sinx，有x12+y12=1.它表示单位圆，则所给函数y就是经过定点P（2，2）以及该圆上的动点M（cosx，sinx）的直线PM的斜率k，故只需求此直线的斜率k的最值即可.由=1，得k=.　　∴ymax=，ymin=.　　评述：数形结合法是高考中必考的数学思维方

9、法，对此读者要有足够的重视.　　●闯关训练　　夯实基础　　1.函数y=log2（1+sinx）+log2（1－sinx），当x∈［－，］时的值域为　　A.［－1，0］　　B.（－1，0］　　C.［0，1）　　D.［0，1］　　解析：y=log2（1－sin2x）=log2cos2x.　　当x=0时，ymax=log21=0；　　当x=时，ymin=－1.∴值域为［－1，0］.　　答案：A　　2.当y=2cosx－3sinx取得最大值时，tanx的值是　　A.　　B.－　　C.　　D.4　　解析：y=sin（－x）（其中tan=）.y有最

10、大值时，应sin（－x）=1－x=2kπ+－x=2kπ+－.　　∴tanx=－tan（－x）=－tan（2kπ+－）=－cot=－=－.　　答案：B　　3.函数y=的最大值是_______，最小值是____