2012届高考数学第一轮三角函数的最值专项复习教案

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1、2012届高考数学第一轮三角函数的最值专项复习教案  4.9三角函数的最值  ●知识梳理  1.y=asinx+bcosx型函数最值的求法.  常转化为y=sin(x+),其中tan=.  2.y=asin2x+bsinx+c型.  常通过换元法转化为y=at2+bt+c型.  3.y=型.  (1)转化为型1.  (2)转化为直线的斜率求解.  4.利用单调性.  ●点击双基  1.(2000年全国)若0<α<β<,sinα+cosα=a,sinβ+cosβ=b,则  A.a<b<1  B.a>b>1  C.ab<1  D.ab>1 

2、 解析:a=sin(α+),b=sin(β+),0<α+<β+<,∴1<a<b,ab>1.  答案:D  2.函数f(x)=cos2x+sinx在区间[-,]上的最小值是  A.  B.-  C.-1  D.  解析:f(x)=1-sin2x+sinx=-(sinx-)2+.  ∴当x=-时,ymin=.  答案:D  3.函数y=x-sinx在[,π]上的最大值是  A.-1  B.+1  C.-  D.π  解析:y=x-sinx在[,π]上是增函数,∴x=π时,ymax=π.  答案:D  4.y=的最大值是_________,最

3、小值是_________.  解析一:y==1-.  当sinx=-1时,得ymin=-1,当sinx=1时,得ymax=.  解析二:原式sinx=(∵y≠1)  

4、

5、≤1-1≤y≤.∴ymax=,ymin=-1.  答案: -1  5.y=(0<x<π)的最小值是________.  解析一:y=ysinx+cosx=2sin(x+)=2  sin(x+)=(x∈(0,π))0<≤1y≥.  ∴ymin=.  解析二:y可视为点A(-sinx,cosx),B(0,2)连线的斜率kAB,而点A的轨迹  x∈(0,π)是单位圆在第二、三

6、象限的部分(如下图),易知当A(-,)时,ymin=kAB=.  答案:  ●典例剖析  【例1】函数y=acosx+b(a、b为常数),若-7≤y≤1,求bsinx+acosx的最大值.  剖析:函数y=acosx+b的最值与a的符号有关,故需对a分类讨论.  解:当a>0时,a=4,b=-3;  当a=0时,不合题意;  当a<0时,a=-4,b=-3.  当a=4,b=-3时,bsinx+acosx=-3sinx+4cosx=5sin(x+)(tan=-);  当a=-4,b=-3时,bsinx+acosx=-3sinx-4cos

7、x=5sin(x+)(tan=).  ∴bsinx+acosx的最大值为5.  【例2】求函数y=cotsinx+cotxsin2x的最值.  剖析:先将切函数化成弦函数,再通过配方转化成求二次函数的最值问题.  解:y=•sinx+•2sinxcosx=2(cosx+)2+.  ∵sinx≠0,∴cosx≠±1.  ∴当cosx=-时,y有最小值,无最大值.  评述:这是个基本题型,解题时要注意式中的隐含条件.  【例3】求函数y=的最大值和最小值.  剖析:此题的解法较多,一是利用三角函数的有界性;二是数形结合法,将y看成是两点连线

8、的斜率;三是利用万能公式换算,转化成一元函数的最值问题(由于万能公式不要求掌握,所以此方法只作了解即可).  解法一:去分母,原式化为sinx-ycosx=2-2y,即sin(x-)=.  故≤1,解得≤y≤.  ∴ymax=,ymin=.  解法二:令x1=cosx,y1=sinx,有x12+y12=1.它表示单位圆,则所给函数y就是经过定点P(2,2)以及该圆上的动点M(cosx,sinx)的直线PM的斜率k,故只需求此直线的斜率k的最值即可.由=1,得k=.  ∴ymax=,ymin=.  评述:数形结合法是高考中必考的数学思维方

9、法,对此读者要有足够的重视.  ●闯关训练  夯实基础  1.函数y=log2(1+sinx)+log2(1-sinx),当x∈[-,]时的值域为  A.[-1,0]  B.(-1,0]  C.[0,1)  D.[0,1]  解析:y=log2(1-sin2x)=log2cos2x.  当x=0时,ymax=log21=0;  当x=时,ymin=-1.∴值域为[-1,0].  答案:A  2.当y=2cosx-3sinx取得最大值时,tanx的值是  A.  B.-  C.  D.4  解析:y=sin(-x)(其中tan=).y有最

10、大值时,应sin(-x)=1-x=2kπ+-x=2kπ+-.  ∴tanx=-tan(-x)=-tan(2kπ+-)=-cot=-=-.  答案:B  3.函数y=的最大值是_______,最小值是____

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