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时间:2018-10-08
《2012届高考数学第一轮三角函数的最值专项复习教案》由会员上传分享,免费在线阅读,更多相关内容在应用文档-天天文库。
1、2012届高考数学第一轮三角函数的最值专项复习教案 4.9三角函数的最值 ●知识梳理 1.y=asinx+bcosx型函数最值的求法. 常转化为y=sin(x+),其中tan=. 2.y=asin2x+bsinx+c型. 常通过换元法转化为y=at2+bt+c型. 3.y=型. (1)转化为型1. (2)转化为直线的斜率求解. 4.利用单调性. ●点击双基 1.(2000年全国)若0<α<β<,sinα+cosα=a,sinβ+cosβ=b,则 A.a<b<1 B.a>b>1 C.ab<1 D.ab>1
2、 解析:a=sin(α+),b=sin(β+),0<α+<β+<,∴1<a<b,ab>1. 答案:D 2.函数f(x)=cos2x+sinx在区间[-,]上的最小值是 A. B.- C.-1 D. 解析:f(x)=1-sin2x+sinx=-(sinx-)2+. ∴当x=-时,ymin=. 答案:D 3.函数y=x-sinx在[,π]上的最大值是 A.-1 B.+1 C.- D.π 解析:y=x-sinx在[,π]上是增函数,∴x=π时,ymax=π. 答案:D 4.y=的最大值是_________,最
3、小值是_________. 解析一:y==1-. 当sinx=-1时,得ymin=-1,当sinx=1时,得ymax=. 解析二:原式sinx=(∵y≠1)
4、
5、≤1-1≤y≤.∴ymax=,ymin=-1. 答案: -1 5.y=(0<x<π)的最小值是________. 解析一:y=ysinx+cosx=2sin(x+)=2 sin(x+)=(x∈(0,π))0<≤1y≥. ∴ymin=. 解析二:y可视为点A(-sinx,cosx),B(0,2)连线的斜率kAB,而点A的轨迹 x∈(0,π)是单位圆在第二、三
6、象限的部分(如下图),易知当A(-,)时,ymin=kAB=. 答案: ●典例剖析 【例1】函数y=acosx+b(a、b为常数),若-7≤y≤1,求bsinx+acosx的最大值. 剖析:函数y=acosx+b的最值与a的符号有关,故需对a分类讨论. 解:当a>0时,a=4,b=-3; 当a=0时,不合题意; 当a<0时,a=-4,b=-3. 当a=4,b=-3时,bsinx+acosx=-3sinx+4cosx=5sin(x+)(tan=-); 当a=-4,b=-3时,bsinx+acosx=-3sinx-4cos
7、x=5sin(x+)(tan=). ∴bsinx+acosx的最大值为5. 【例2】求函数y=cotsinx+cotxsin2x的最值. 剖析:先将切函数化成弦函数,再通过配方转化成求二次函数的最值问题. 解:y=•sinx+•2sinxcosx=2(cosx+)2+. ∵sinx≠0,∴cosx≠±1. ∴当cosx=-时,y有最小值,无最大值. 评述:这是个基本题型,解题时要注意式中的隐含条件. 【例3】求函数y=的最大值和最小值. 剖析:此题的解法较多,一是利用三角函数的有界性;二是数形结合法,将y看成是两点连线
8、的斜率;三是利用万能公式换算,转化成一元函数的最值问题(由于万能公式不要求掌握,所以此方法只作了解即可). 解法一:去分母,原式化为sinx-ycosx=2-2y,即sin(x-)=. 故≤1,解得≤y≤. ∴ymax=,ymin=. 解法二:令x1=cosx,y1=sinx,有x12+y12=1.它表示单位圆,则所给函数y就是经过定点P(2,2)以及该圆上的动点M(cosx,sinx)的直线PM的斜率k,故只需求此直线的斜率k的最值即可.由=1,得k=. ∴ymax=,ymin=. 评述:数形结合法是高考中必考的数学思维方
9、法,对此读者要有足够的重视. ●闯关训练 夯实基础 1.函数y=log2(1+sinx)+log2(1-sinx),当x∈[-,]时的值域为 A.[-1,0] B.(-1,0] C.[0,1) D.[0,1] 解析:y=log2(1-sin2x)=log2cos2x. 当x=0时,ymax=log21=0; 当x=时,ymin=-1.∴值域为[-1,0]. 答案:A 2.当y=2cosx-3sinx取得最大值时,tanx的值是 A. B.- C. D.4 解析:y=sin(-x)(其中tan=).y有最
10、大值时,应sin(-x)=1-x=2kπ+-x=2kπ+-. ∴tanx=-tan(-x)=-tan(2kπ+-)=-cot=-=-. 答案:B 3.函数y=的最大值是_______,最小值是____
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