如图1已知抛物线顶点为a(0,1)矩形cdef顶点cf在抛物线上de在x轴上cf交y轴于点b(0,2)且其面积为8

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1、如图1，已知抛物线的顶点为A（0，1），矩形CDEF的顶点C、F在抛物线上，D、E在x轴上，CF交y轴于点B（0，2），且其面积为8．如图1，已知抛物线的顶点为A（0，1），矩形CDEF的顶点C、F在抛物线上，D、E在x轴上，CF交y轴于点B（0，2），且其面积为8．（1）求此抛物线的解析式；（2）如图2，若P点为抛物线上不同于A的一点，连接PB并延长交抛物线于点Q，过点P、Q分别作x轴的垂线，垂足分别为S、R．①求证：PB=PS；②判断△SBR的形状；③试探索在线段SR上是否存在点M，使得以点P、S、M为顶点

2、的三角形和以点Q、R、M为顶点的三角形相似，若存在，请找出M点的位置；若不存在，请说明理由．结束时间：2011年11月04日21:45提问者:sunflower521最佳答案（1）方法一：∵B点坐标为（0.2），∴OB=2，∵矩形CDEF面积为8，∴CF=4．∴C点坐标为（-2，2）．F点坐标为（2，2）．设抛物线的解析式为y=ax2+bx+c．其过三点A（0，1），C（-2.2），F（2，2）．得{1=c2=4a-2b+c2=4a+2b+c，解这个方程组，得a=14，b=0，c=1，∴此抛物线的解析式为y=1

3、4x2+1．（3分）方法二：∵B点坐标为（0.2），∴OB=2，∵矩形CDEF面积为8，∴CF=4．∴C点坐标为（-2，2）．（1分）根据题意可设抛物线解析式为y=ax2+c．其过点A（0，1）和C（-2.2）{1=c2=4a+c解这个方程组，得a=14，c=1此抛物线解析式为y=14x2+1．（2）解：①过点B作BN⊥PS，垂足为N．∵P点在抛物线y=14x2+1上．可设P点坐标为（a，14a2+1）．∴PS=14a2+1，OB=NS=2，BN=a．∴PN=PS-NS=14a2-1（5分）在Rt△PNB中．P

4、B2=PN2+BN2=（14a2-1）2+a2=（14a2+1）2∴PB=PS=14a2+1．（6分）②根据①同理可知BQ=QR．∴∠1=∠2，又∵∠1=∠3，∴∠2=∠3，同理∠SBP=∠5（7分）∴2∠5+2∠3=180°∴∠5+∠3=90°∴∠SBR=90度．∴△SBR为直角三角形．（8分）③方法一：设PS=b，QR=c，∵由①知PS=PB=b．QR=QB=c，PQ=b+c．∴SR2=（b+c）2-（b-c）2∴SR=2bc．（9分）假设存在点M．且MS=x，别MR=2bc-x．若使△PSM∽△MRQ，则

5、有bx=2bc-xc．即x2-2bcx+bc=0∴x1=x2=bc．∴SR=2bc∴M为SR的中点．（11分）若使△PSM∽△QRM，则有bx=c2bc-x．∴x=2bbcb+c．∴MRMS=2bc-xx=2bc2bbcb+c-1=cb=QBBP=ROOS．∴M点即为原点O．综上所述，当点M为SR的中点时．△PSM∽△MRQ；当点M为原点时，△PSM∽△MRQ．（13分）方法二：若以P、S、M为顶点的三角形与以Q、M、R为顶点的三角形相似，∵∠PSM=∠MRQ=90°，∴有△PSM∽△MRQ和△PSM∽△QRM

6、两种情况．当△PSM∽△MRQ时．∠SPM=∠RMQ，∠SMP=∠RQM．由直角三角形两锐角互余性质．知∠PMS+∠QMR=90度．∴∠PMQ=90度．（9分）取PQ中点为N．连接MN．则MN=12PQ=12（QR+PS）．（10分）∴MN为直角梯形SRQP的中位线，∴点M为SR的中点（11分）当△PSM∽△QRM时，RMMS=QRPS=QBBP又RMMS=ROOS，即M点与O点重合．∴点M为原点O．综上所述，当点M为SR的中点时，△PSM∽△MRQ；当点M为原点时，△PSM∽△QRM．（13分）