高一数学竞赛试题含答案

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1、高一数学竞赛试题时间：8:30-11:00总分：150分一、填空题（本大题共15小题，每小题5分，共75分）1、如图，P为⊙O外一点，过P点作⊙O的两条切线，切点分别为A，B，过PA的中点Q作割线交⊙O于C，D两点，若QC＝1，CD＝3，则PB＝________。xyo2、若函数为偶函数，则。3、函数的图像如图所示，则0，0，0。4、已知，则。5、函数则的单调递减区间为。6、若方程有负实数根，则的取值范围是。7、设函数，则满足的的取值范围是。8、设集合，则集合A的所有非空子集元素和的和为。9、设函数的图像与的图像关于对称，且，则。10、已知实数满足，则。11、已知

2、函数满足：，则。12、已知定义在R上的奇函数，满足，且在区间上是增函数，则，的大小关系是。（从大到小书写）13、设，满足，则这样的函数个数共有个。14、设函数，⑴若，则的最小值为；⑵若恰有2个零点，则实数的取值范围是。15、已知函数。设其中表示中的较大值,表示中的较小值,记得最小值为得最小值为,则。二、解答题（本大题共6小题，共75分）16（12分）、如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，AB的延长线与DC的延长线交于点E，且CB＝CE.(1)证明：∠D＝∠E；(2)设AD不是⊙O的直径，AD的中点为M，且MB＝MC，证明：△ADE为等边三角形。17（12分）、

3、某地区上年度电价为，年用电量为，本年度计划将电价降到之间，而用户的期望电价为，经测算，下调电价后，新增加用电量与实际电价和用户期望电价的差成反比（反比例系数为），该地区电力的成本价为。⑴写出本年度电价下调后，电力部门的收益与实际电价的关系式；⑵设，当电价最低定为多少时，仍可保证电力部门的收益比上年度至少增加。18（12分）、⑴求函数的最小值；⑵求函数的最小值；⑶求函数的最小值；⑷归纳上述规律，写出函数的最小值。（直接写结果，不用写过程）19（13分）、设函数，集合⑴证明：；⑵当时，求集合B。20（13分）、在一次数学竞赛中，共出甲，乙，丙三题。在所有25个参赛的学

4、生中，每个学生至少解出一题，在所有没有解出甲题的学生中，解出乙题的人数是解出丙题的人数的两倍，只解出甲题的学生比余下的学生中解出甲题的学生的人数多1，只解出一题的学生中，有一半没有解出甲题，问共有多少学生只解出乙题？21（13分）、设为实数，函数在区间上的最大值记为，求的最小值。高一数学竞赛答案（仅供参考）一、填空题1、提示：由切线长定理得QA2＝QC·QD＝1×(1＋3)＝4，解得QA＝2.故PB＝PA＝2QA＝4；2、提示：为奇函数，所以；3、提示：由定义域得，由函数值符号得，由函数零点得；4、提示：由；5、或提示：根据复合函数单调性：或；6、提示：令，转化到

5、方程在上有根；7、提示：即；8、提示：在所有子集中均出现次，故;或列举出所有子集；9、提示：设在上，则在上，代入即可；10、提示：构造函数，奇函数且单调递增；11、提示：令，同理可得周期为6。或令，可得，两式联立可得；12、提示：由奇函数和在区间上是增函数，得函数在为增函数，由，得；转化即可13、10提示：令，则，分三对一，三对二，三对三讨论，分别为3,6,1，共10种；14、(1)(2)提示：⑵中结合两个函数图像，分讨论15、提示：顶点坐标为，顶点坐标，并且与的顶点都在对方的图象上，图象如图，A、B分别为两个二次函数顶点的纵坐标，所以A-B=。二、解答题16、证

6、明：(1)由题设知A，B，C，D四点共圆，所以∠D＝∠CBE.由已知得∠CBE＝∠E，故∠D＝∠E.(2)设BC的中点为N，连接MN，则由MB＝MC知MN⊥BC，故O在直线MN上。又AD不是⊙O的直径，M为AD的中点，故OM⊥AD，即MN⊥AD，所以AD∥BC，故∠A＝∠CBE。又∠CBE＝∠E，故∠A＝∠E，由(1)知，∠D＝∠E，所以△ADE为等边三角形。17、⑴⑵由得，所以……18、⑴0⑵1⑶2⑷19、⑴对任意，于是故⑵由得由，因为所以是上述方程的根，所以ABC得20、设解出甲，乙，丙三题的学生的集合分别为A,B,C用图表示，相应的人数如图在所有25个参赛的

7、学生中，每个学生至少解出一题，得：①在所有没有解出甲题的学生中，解出乙题的人数是解出丙题的人数的两倍，得：②由只解出甲题的学生比余下的学生中解出甲题的学生的人数多1，得：③由只解出一题的学生中，有一半没有解出甲题得：④由②得：⑤⑤代入①得：⑥③④代入⑥得：⑦⑧⑧⑦得：⑨由得：由⑤⑨消得：所以。21、⑴当时，在上单调递增，所以⑵当时，①当时，，所以②当时，，⑶当时，在上单调递增，在上单调递减，所以⑷当时，在上单调递增，所以综上：当时，；当时；当时，，所以当。