2004-2005上期高二数学同步练习(4)—不等式的证明

2004-2005上期高二数学同步练习(4)—不等式的证明

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1、2004-2005上期高二数学同步练习(4)—不等式的证明一、选择题(本大题共10小题,每小题5分,共50分)1.若a>0,b>0,则的最小值是()A.2B.C.D.42.分析法证明不等式中所说的“执果索因”是指寻求使不等式成立的()A.必要条件B.充分条件C.充要条件D.必要或充分条件3.设a、b为正数,且a+b≤4,则下列各式中正确的一个是()A.B.C.D.4.已知a、b均大于1,且logaC·logbC=4,则下列各式中,一定正确的是()A.ac≥bB.ab≥cC.bc≥aD.ab≤c5.设a=,b=,,则a、b、c间的大小关系是()A.a>

2、b>cB.b>a>cC.b>c>aD.a>c>b6.已知a、b、m为正实数,则不等式()A.当ab时成立C.是否成立与m无关D.一定成立7.设x为实数,P=ex+e-x,Q=(sinx+cosx)2,则P、Q之间的大小关系是()A.P≥QB.P≤QC.P>QD.Pb且a+b<0,则下列不等式成立的是()A.B.C.D.9.设a、b为正实数,P=aabb,Q=abba,则P、Q的大小关系是()A.P≥QB.P≤QC.P=QD.不能确定410.甲、乙两人同时同地沿同一路线走到同一地点,甲有一半时间以速度m行走,另一半时

3、间以速度n行走;乙有一半路程以速度m行走,另一半路程以速度n行走,若m≠n,则甲、乙两人到达指定地点的情况是()A.甲先到B.乙先到C.甲乙同时到D.不能确定二、填空题(本大题共4小题,每小题6分,共24分)11.若正数a、b满足ab=a+b+3,则ab的取值范围是.12.已知a>1,algb=100,则lg(ab)的最小值是.13.使不等式a2>b2,,lg(a-b)>0,2a>2b-1同时成立的a、b、1的大小关系是.14.建造一个容积为8m3,深为2m的长方体无盖水池,如果池底和池壁的造价每平方米分别为120元和80元,则水池的最低总造价为元.

4、三、解答题(本大题共6题,共76分)15.若a、b、c都是正数,且a+b+c=1,求证:(1–a)(1–b)(1–c)≥8abc.(12分)16.设的大小.(12分)17.已知a,b,c都是正数,且a,b,c成等比数列,求证:(12分)18.已知x2=a2+b2,y2=c2+d2,且所有字母均为正,求证:xy≥ac+bd.(12分)19.设计一幅宣传画,要求画面面积为4840cm2,画面的宽与高的比为λ(λ<1),画面的上下各留8cm空白,左、右各留5cm空白,怎样确定画面的高与宽尺寸,能使宣传画所用纸张面积最小?(14分)20.数列{xn}由下列条

5、件确定:.(Ⅰ)证明:对n≥2,总有xn≥;4(Ⅱ)证明:对n≥2,总有xn≥.(14分)参考答案一.选择题(本大题共10小题,每小题5分,共50分)题号12345678910答案DBBBDAACAA二.填空题(本大题共4小题,每小题6分,共24分)11.x≥912.13.a>b>114.1760三、解答题(本大题共6题,共76分)15.(12分)[证明]:因为a、b、c都是正数,且a+b+c=1,所以(1–a)(1–b)(1–c)=(b+c)(a+c)(a+b)≥2·2·2=8abc.16.(12分)[解析]:(当且仅当t=1时时等号成立)(1)当

6、t=1时,(2)当时,,若若17.(12分)[证明]:左-右=2(ab+bc-ac)∵a,b,c成等比数列,又∵a,b,c都是正数,所以≤∴∴∴18.(12分)[证法一]:(分析法)∵a,b,c,d,x,y都是正数∴要证:xy≥ac+bd只需证:(xy)2≥(ac+bd)2即:(a2+b2)(c2+d2)≥a2c2+b2d2+2abcd展开得:a2c2+b2d2+a2d2+b2c2≥a2c2+b2d2+2abcd即:a2d2+b2c2≥2abcd由基本不等式,显然成立4∴xy≥ac+bd[证法二]:(综合法)xy=≥[证法三]:(三角代换法)∵x2=

7、a2+b2,∴不妨设a=xsina,b=xcosay2=c2+d2c=ysinb,d=ycosb∴ac+bd=xysinasinb+xycosacosb=xycos(a-b)≤xy19.(14分)[解析]:设画面高为xcm,宽为xcm则x2=4840.设纸张面积为S,有S=(x+16)(x+10)=x2+(16+10)x+160,S=5000+44当8此时,高:宽:答:画面高为88cm,宽为55cm时,能使所用纸张面积最小.20.(14分)(I)证明:由及可归纳证明(没有证明过程不扣分)从而有所以,当成立.(II)证法一:当所以故当证法二:当所以故当

8、.4

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