§2 广勾股定理和斯特瓦尔特定理和海伦公式证明

《§2 广勾股定理和斯特瓦尔特定理和海伦公式证明》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。

1、§2广勾股定理及斯特瓦尔特定理　　一、广勾股定理　　勾股定理反映了直角三角形三边之间的度量关系，即“斜边的平方等于两直角边的平方之和”．如果不是直角三角形，而是锐角或钝角三角形，那么它们的三边之间存在怎样的度量关系呢？这就涉及到广勾股定理了．　　广勾股定理：在任一三角形中，　　(1)锐角对边的平方，等于其他两边之平方和，减去这两边中的一边和另一边在这边上的射影乘积的两倍．　　(2)钝角对边的平方等于其他两边的平方和，加上这两边中的一边与另一边在这边上的射影乘积的两倍．　　证明　　(1)设△ABC中，AC是锐角B的对边(图

2、2－4)．作BH⊥AC于H，因为AB2=BH2+AH2，BC2=BH2＋CH2，　　所以，BC2-AB2=CH2-AH2．∴BC2=AB2+CH2-AH2．(1)　　但是CH2=(AC－AH)2　　　　　=AC2-2AC·AH+AH2．(2)　　将(2)代入(1)就得到BC2=AB2＋AC2-2AC·AH．　　(当H在AC边的延长线上时，结论是一样的．)ABCH图2-4　　(2)设在△ABC中，BC是钝角A的对边(图2－5)．　　作BH⊥CA于H，　　则BC2＝CH2+BH2．AB2=AH2+BH2．　　∴BC2＝AB2

3、+CH2-AH2．(1)　　但是　　CH2=(AC+AH)2=AC2＋2AC·AH＋AH2．(2)　　将(2)代入(1)就得到BC2=AB2＋AC2＋2AC·AH．　　由勾股定理和广勾股定理可以得到如下结论：　　三角形的一角是锐角、直角或钝角时，它的对边的平方比其他两边的平方和较小、相等或较大，并且其逆命题也成立．　　二、斯特瓦尔特(stewart)定理　　设已知△ABC及其底边上B、C两点间的一点D，则有AB2·DC+AC2·BD-AD2·BC＝BC·DC·BD．　　证明在图2－6中，作AH⊥BC于H．为了明确起见，设

4、H和C在点D的同侧，那么由广勾股定理有AC2=AD2＋DC2-2DC·DH，(1)AB2=AD2+BD2+2BD·DH．(2)　　用BD乘(1)式两边得AC2·BD=AD2·BD+DC2·BD-2DC·DH·BD，(1)′　　用DC乘(2)式两边得AD2·DC=AD2·DC＋BD2·DC＋2BD·DH·DC．(2)′　　由(1)′+(2)′得到　　AC2·BD+AB2·DC=AD2(BD＋DC)+DC2·BD＋BD2·DC而AD2(BD＋DC)+DC2·BD＋BD2·DC=AD2·BC+BD·DC·BC．　　∴AB2·D

5、C＋AC2·BD-AD2·BC=BC·DC·BD．　　三、三角形中几条重要线段的计算　　(一)已知△ABC中，BC＝a，AC＝b，AB=c，ma，mb，mc分别表示BC、AC、AB边上的中线，求ma，mb，mc．　　解在图2－7中，设D是BC边的中点，AD＝ma，　　　　代入斯特瓦尔特定理之关系式则有　　　　　　　　(二)设AD=ta为△ABC中角A的平分线(图2－8)．AB＝c，AC＝b，BC=a，求ta．　　解　　∵AD是∠A的平分线，　　　　将BD、CD之值代入斯特瓦尔特定理之关系式，则有　　　　　　　　(tb、t

6、c分别是△ABC中∠B、∠C的角平分线之长．)　　(三)设△ABC中，ha是BC边上的高线，求ha和△ABC的面积．　　解：设图2－9中，AD⊥BC于D，AD=ha．由广勾股定理得b2=c2＋a2-2a·BD．　　　　消去BD，得　　　　　　同理：　　(hb、hc分别为AC、AB边上的高．)　　　　∴三角形ABC的面积：　　这个三角形的面积公式在我国叫三斜求积公式，国外叫做海伦公式．