斯特瓦尔特定理

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1、数形结合，动静互易（一）   在解决代数问题时，要注意其几何意义，通过几何图形的直观反映题设条件与结论之间的联系，反之在解决几何问题时，应注意其间的数量关系，有时结合代数方法，可弥补直觉想像的不足.例1．正数a、b、c、A、B、C满足a+A=b+B=c+C=k，   求证：aB+bC+cA

2、△PQR  （∵；；    ；）   结论显然成立.《说明》此例的几何证法不太好想，但只要想到，其优越性是不言自明的.例2．若2x+y≥1，试求函数   W=y2-2y+x2+4x的最小值《分析》若采用纯代数的方法求解，过程相当繁杂，不妨试用几何方法.《解》设P(x，y)是直角坐标平面oxy上的一点，则   2x+y≥1   表示直线2x+y-1=0的上方（含直线本身）区域.   再视W=y2-2y+x2+4x为方程，变形为：(x+2)2+(y-1)2=W+5   可见它表示以o′(-2，1)为圆心，为半径的圆.由于W不定它表示的是动圆，而其上点(x，y)应是直线2x+y

3、-1=0上方（含直线）的点，为使W最小，即需此动圆半径最小，此即o′到直线ι的距离.   故当时，   即为所求最小值.   为求出何时取到最小值，只需再解方程组   得；即此时，函数取最小值.例3．解不等式：分析：本题是道高考的容易题，但实际上当年考生得分并不高，错误的原因就在于绝大多数同学只会用分类讨论的方法解此无理不等式，而在讨论时，又分类不全，错误率很高，其实只要有数形结合的思想，利用图象求解，本题还是很容易的.《解》作与y=x+1的图象于同一坐标系，解方程组  得出交点A(2，2)，注意到B(，0)，结合题意可能不等式的解为  x∈(2）（待续） 《竞赛园地》 

4、 柯西不等式（一）.《内容》设a1，a2，…an和b1，b2…bn是两组实数，则  (a12+a22+…+an2)(b12+b22+…+bn2)≥(a1b1+…+anbn)2  (当且仅当时，等式成立)  证明  方法1（利用排序不等式）  (1)若a1=a2=…=an=0或b1=b2=…=bn=0显然成立；  (2)若,且a1≤a2≤…≤an,    ,且b1≤b2≤…≤bn,记  由排序原理有  x1xn+1+x2xn+2+…+xnx2n+xn+1x1+…+x2n·xn  ≤x1·x1+x2·x2+…+x2n·x2n.即于是  进而有    （∵

5、a+b

6、≤

7、a

8、+

9、

10、b

11、）即  式中等号成立的充要条件是x1=x2=…=x2n,即    方法2，构造二次函数  显然f(x)≥0,因而其判别式△≤0,即  ,即，当且仅当时成立.《应用》例1.利用柯西不等式证明  (1)(ab+cd)(ac+bd)≥4abcd;  (2)若a、b、c∈R+，则    (3)若a、b、c∈R+，且ab+bc+cd=1,则.  (4).  证明  (1)∵(ab+cd)(ac+bd)  等式当且仅当且a=d即b=c,a=d时成立.  (2)        =(1+1+1)2=9当且仅当a=b=c时，等式成立.  (3)注意到  (a2+b2+c2)2=(a2+

12、b2+c2)·(b2+c2+a2)≥(ab+bc+ca)2=1,  ∵(a+b+c)2=a2+b2+c2+2(ab+bc+ca)≥1+2=3,又由a+b+c＞0,故  ,当且仅当时，等式成立.  (4)注意到  竞赛中的平面几何基础   小精灵（来了北大后，发现忘了不少高中的东西，但一旦重新拾起，就会有更深认识基于同样的原因，高中的你请和我们一起来看看初中的很“基础”很“基础”的东西）  照常理，我似乎应给你们再加点“料”，但见到这么多梅理、瓦理，再加那么几个公式，定理似乎没有什么必要了，你有足够的内存，时间，练习去记住每一个吗？仔细看每一个定理，它们都可以用正/余弦定理

13、或更基本的思路来证明。它们不过是一些快捷方式，快捷键罢了。给你这么多公式唯一的目的是告诉你，由某些基本定理（余/正弦），可推导出三角形中存在的许多恒定的关系。   比奥赛，就是比怎样去推导、理解、运用这些关系。记住正/余弦，以后靠你自己吧，不过，多说一句，玩电脑的人喜欢快捷方式。   仅仅会初中平面几何中的定理，远远不能适应数学竞赛的需要，现在介绍几个在现行初中课本删去，但高中数学竞赛很需要的基础定理。《定理1》正弦定理   △ABC中，设外接圆半径为R，则   证明概要   如图1，过B作直径BA'，则∠A'=∠A，∠BCA