第4章 斯特瓦尔特定理及应用

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1、第四章特瓦尔特定理及应用【基础知识】斯特瓦尔特定理设为的边上任一点（，），则有①或．②证明如图4-1，不失一般性，不妨设，则由余弦定理，有，．对上述两式分别乘以，后相加整理，得①式或②式．斯特瓦尔特定理的逆定理设，，依次分别为从点引出的三条射线，，上的点，若，或，则，，三点共线．证明令，，对和分别应用余弦定理，有，．将上述两式分别乘以，后相加，再与已知条件式相比较得，由此推出，即证．斯特瓦尔特定理的推广（1）设为的边延长线上任一点，则．③（2）设为的边反向延长线上任一点，则．④注若用有向线段表示，则②，③，④式是一致的．推论1设为等腰的底边上任一点，则．注此推论也可视为以为

2、圆心，为半径的圆中的圆幂定理．推论2设为的边上的中线，则．推论3设为的的内角平分线，则．推论4设为的的外角平分线，则．推论5在中，若分线段满足，则．注若，则．【典型例题与基本方法】1．选择恰当的三角形及一边上的一点，是应用斯特瓦尔特定理的关键．例1如图4-2，凸四边形中，，，，，对角线，交于点．求．（1996年北京中学生竞赛题）解延长，相交于，设，则，，对及边上的点，应用斯特瓦尔特定理，有．由，有，即，求得．于是，．又在中，，从而．而，故，即为所求．例2如图4-3，在中，，，点是外心，两条高，交于点，点，分别在线段，上，且满足，求的值．（2002年全国高中联赛题）解延长交于

3、，由三角形垂心性质，知为关于的对称点，则．设的半径为，，，，由，知．延长两端交于，，如图4-3，由相交弦寇理有，即，即．在及边上的点，应用斯特瓦尔特定理，并注意到，可得，即，亦即．于是，有．亦即，即．而当时，，故为所求．2．注意斯特瓦尔特定理的推论的应用例3如图4-4，自外一点引圆的两条切线，，，为切点，过点任意引圆的割线交于，，交于．证明：．（2001年湖南中学生夏令营试题）证明由相交弦定理，有．由于，对等腰及底边上的点，应用斯特瓦尔特定理的推论1，有，即有．而，从而．故．注此例结论表示线段是线段，的调和平均．这个结论亦即为点、调和分割弦．例4如图4-5，设在中，，平分，

4、且交于，在上有一点，使．求证：．（1979年江苏省竞赛题）证明对及边上的点，应用斯特瓦尔特定理，有．由平分，对及边上的点，应用斯特瓦尔特定理的推论3，有，从而．①因，有，即．由角平分线的性质，有，即．从而，由①式，有．例5凸多边形外切于，两组对边所在的直线分别交于点、，对角线交于点．求证：．（《中等数学》奥林匹克题高中251题）证明如图4-6，设与边、、、分别切于点、、、，则由牛顿定理知，、、、四线共点于．由切线长定理，知．由推论1，有．①同理，．②联结、、，令的半径为，则．③又由相交弦定理，有．④于是，由①、②、③、④有．由定差幂线定理，知．注（1）牛顿定理圆外切四边形的

5、两条对角线、两对边切点的连线，这4条直线共点．（2）定差幂线定理设、是两条线段，则的充要条件为．此定理可用勾股定理及逆定理证明．这个定理放到空间也是成立的．运用向量法可给出平面、空间的统一证明如下：由．知．故．例6已知、分剔是的边、的中点，、是边、上的高，联结、交于点．又设、分别是的外心、垂心，联结、．求证：．（2005年国家队集训题）证明如图4-7，联结、．设、分别为、的中点，则，，即知点在线段的中重线上，应用推论1，有．注意到为中位线，在的中垂线上，由此知也在的中垂线上，应用推论1，有．再注意到，知、、、四点共圆，并由直角三角形性质，有．③及、．④由①、②、③、④得．由

6、定差幂线定理，．而，故．注此例的其他证法可参见第九章例16、第十章例15．例7设是的边上一点，满足，经过、两点，并分别与、交于、两点，、交于点，联结、，取的中点．求证：．证明如图4-8，在的延长线上取点，使得（即、、、四点共圆），则由知、、、也四点共圆．于是，知、、、四点共圆，即有．联结、、，并令半径为，则对、分别应用推论1，有．①．②联结，由三角形中线长公式，并注意①、②，有．③联结、，对应用推论1，有．又由，有，即有．④注即为完全四边形的密克尔点，由③、④有．由定差幂线定理，知．3．注意斯特瓦尔特定理等价于托勒密定理斯特瓦尔特定理可推导出托勒密定理．证明如图4-9，在中

7、，点在上，由斯特瓦尔特定理，有．延长交的外接圆于，连，，由和，有，．又由相交弦定理，有．于是，得，即，亦即．即为托勒密定理．由托勒密定理也可推导斯特瓦尔特定理．证明如图4-10，设圆内接四边形的对角线，交于．由托勒密定理，有．即．由和，有，．由相交弦定理，有．将这些式子代入前述式子即得斯特瓦尔特定理．因此，在应用中，两个定理的应用范围相同，所显示的功能也一样，即凡能用托勒密定理处理的问题也能用斯特瓦尔特定理处理．反之亦然．例8若的三边为连续整数，且最大角是最小角的两倍，求三角形的三边长．（-10试题）解法1作的平分