【论文】勾股定理的表述和证明

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1、勾股定理的表述和证明摘要:勾股定理是初等几何中的一个基本定理。本文简要叙述了勾股定理的来历和表述方法，并且详细的阐述了中国多位数学家运用几何图形割补法和数形结合的思想证明勾股定理的方法，和外国不同数学家的逻辑推理法、相似三角形法、梯形面积法等证明勾股定理的方法。关键词:勾股定理几何图形割补法数形结合逻辑推理法有关勾股定理的发现问题，各国各民族都有不同的记载，我们屮平民族是最节了解和发现勾股定理的民族之一。目前已知，勾股定理在中国敁早的记载出现在《周髀»经》中。该15卷上失记载了周公和商高的-段问答，商高指fli

2、夏代大禹治水吋己经知道用“勾广三，股修叫，径隅五”的办法來构成直角三角形，“求斜至目者，以F1K为勾，日高为股，勾股各&乘，丼以开方除之，得斜至円”。周公是约公元前1100年的人，商高是周朝吋的人夫，而夏禹治水足公元前21世纪的事。这段话出自商高之口，因而有人主张把勾股定理叫做“商高定理”。至此，在我国经典著作中一般形式的勾股定理已明确地载人史册。在国外，人们把勾股定理成为毕达哥拉斯（Pythagoras）定理。，相传是古希腊数学家兼哲学家毕达哥拉斯公元前550年首先发现的。其实，我国古代人民对这一数学定理的发

3、现和应用，远比毕达哥拉斯早得多。如果说大禹治水因年代久远血无法确切考证的话，那么周公与商高的对话则可以确定在公元前1100年左右的西周时期，比毕迭哥拉斯要甲iOO多年。一、勾股定理的表述根据人们对这一定理的不M理解，对勾股定理至少有3种不同的表述。第一种是我们初中儿何教科15中的表述：“直角三角形两直角边6Z、的平方和，等于斜边c的平方，即tz2+/?2二c2。这里3条边“、/八c表示的是数，其平方也是数，定理讲的是数与数之间的关系，并不考虑数的平方的几何意义，因而被“数的勾股定理”。第二种是欧儿里得《儿何原本

4、》中的表述：“在直角三角形屮，直角所对边上的正方形等于夹直角两边上的正方形。”这里讲的是纯儿何阁形之间的关系，完全不涉及数的问题。所谓相等足指拼补相等，即将直角边上的两个正方形剖分成苦干块，可以拼接成斜边上的人正方形。所以这一表述被称为“形的勾股定理”。第三种表述则是被称为“数形结合的勾股定理”。在面向公众的大型工具书《辞海》屮的表述是：“直角三角形斜边上的正方形面积等于两直角边上的正方形面积之和”。图形的而积是一个数，定理讲一个数等于另外两个数的和，但这些数是由直角三角形边上的正方形来的，冇儿何意义。二、勾股

5、定理的证明数学讲究严格论证，任何结论都要经过逻辑推理一少一步证出来。未加证明的论断只能称为命题，经过严格证明以后才能叫定理。（一）中闺数学家运用几何图形割补法和数形结合的思想证明勾股定理1、赵爽的弦图法在屮国，三国吋东吴数学家赵爽，他在为《周髀算经》所作的注释屮涌现突发（井附奋pAZBDE=90°,ZBCP=90°HPFG是一个边长为的疋方形.设多边形GHCSE的而积为Sa2+b即证明了勾股定理五百余字的说明）证明丫勾股定理。如图1,其中每个直角三角形称为“朱实”，中间的一个小正方形叫做“黄实”，以弦为边的正方

6、形A5CD叫“弦实”。四个朱实加一个黄实就等于一个弦实。即4x#+（€z-化简后即得c2=^2+沪。这个式子从三国时赵爽2给出的弦阁上看，直接形象地证明了勾股定理，这种证明法简洁明了，直观性强，国外类似证法直到1150年才由印度数学家巴斯卡拉给出。可以说，我国对勾股定现的证明应该归功于赵爽。现行初中课本对勾股定理的证明实际上是对赵爽弦图法的一个简化。课本的证明如下，做8个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为6Z、/?，为斜边长c，再做三个边长分别为c的正方形，把它们像上图那样拼成两个正方形。从（图2）上

7、可以看到，这两个正方形的边长都是6/+/?，所以而积相等.即a2+b2+4x-ab=c2+4x1整理得c?2=a2+b2.即证明了勾股定理。22ab2、魏晋数学家刘徽的证明方法如（图3），先将移到的位置，将AAT/V移到的位置，再将S正方形BCDE+S正方形ACFG=正方形ABHKMG尺移到ABA/H的位置，得到：BC2+AC2=AB2,即证叨丫勾股定理。3、清代数学家梅文鼎的证明方法做四个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为fz、/?,斜边长为c.把它们拼成如图那样的一个多边形，使£＞、£、F在一条莨

8、线上.过C作AC的延长线交于点P.•••£＞、£、尸在一条直线上，且RtAGEFRtAEBD,•••ZEGF=ABED,•••ZEGF+ZGEF=90°,ZEGF+ZGEF=90°.•••ZBED+ZGEF=90°,ZfiEG=180°-90°=90°.乂•••AB=BE=EG=GA=c，...ABEG是一个边长为c的正方形.•••ZABC+ZCB£=90°.VRtAABCRtAEBD