函数及其表示

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1、函数及其表示基础知识1、函数与映射的概念函数映射两集合设是两个非空数集设是两个非空集合对应关系如果按照某种确定的对应关系，使对于集合中的任意一个数，在集合中都有唯一确定的数和它对应。如果按某一个确定的对应关系，使对于集合中的任意一个元素，在集合中都有唯一确定的元素与之对应。名称称为从集合到集合的一个函数称为从集合到集合的一个映射记法，对应是一个映射注：函数与映射的区别：函数是特殊的映射，二者区别在于映射定义中的两个集合是非空集合，可以不是数集，而函数中的两个集合必须是非空数集。2.函数的定义域与值域在函数中，叫做自变量，的取值范围叫做的定义域；与的值相对应

2、的值叫做函数值，函数值的集合称为函数的值域.显然，值域是集合B的子集。温馨提示：(1)A、B都是非空数集，因此定义域(或值域)为空集的函数不存在．(2)函数关系的判断要注意“每一个”、“都有”、“唯一”等关键词．(3)注意f(x)与f(a)的区别，f(a)表示当x＝a时的函数值，是一个常量；而f(x)是关于x的函数，一般情况下是一个变量，f(a)是f(x)的一个特殊值．（4）y=f(x)仅仅是函数符号。3、函数的构成要素：定义域、对应关系和值域4、区间的概念及表示法设是两个实数，且，满足的实数的集合叫做闭区间，记做；满足的实数的集合叫做开区间，记做；满足，

3、或的实数的集合叫做半开半闭区间，分别记做，；满足的实数的集合分别记做。注意：对于集合与区间，前者可以大于或等于，而后者必须。5、相等函数：由于值域是由定义域和对应关系决定的，所以，如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，我们就称这两个函数相等．注：若两个函数的定义域与值域相同，是否为相等函数？（不一定。如果函数y=x和y=x+1,其定义域与值域完全相同，但不是相等函数；再如y=sinx与y=cosx，其定义域为R，值域都为[-1，1]，显然不是相等函数。因此凑数两个函数是否相等，关键是看定义域和对应关系）6、函数的表示法有：解析法、列表法、图像法7

4、、分段函数若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数。分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，其值域等于各段函数的值域的并集，分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数。例题精讲：考点一：函数与映射概念考查例1判断下列图象能表示函数图象的是（）xy0(D)xy0(C)xy0(B)xy0(A)练习1：函数的图象与直线x=a的交点个数（）A.只有一个　B.至多有一个　C.至少有一个D.0个练习2：下述两个个对应是到的映射吗？（1），，；（2），，．练习3：下列是映射的是（）abceabcefabcef

5、gabcefabefg图1图2图3图4图5(A)图1、2、3(B)图1、2、5(C)图1、3、5(D)图1、2、3、5函数相等：如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致.例2　指出下列各函数中，哪个与函数是同一个函数：（1）；（2）；（3）．练习1：判定下列各组函数是否为同一个函数：（1），；（2），练习2：试判断以下各组函数是否表示同一函数？（1），；（2），（3），；（4），（5），（n∈N*）；考点二：函数定义域题型1：求有解析式的函数的定义域（1）若f(x)为整式，则其定义域为实数集R（1）若f(x)是分式，则其定义域是使分母不等于0的实数的

6、集合（2）若f(x)是偶次根式，则其定义域是使根号内的式子大于或等于0的实数的集合。（3）若f(x)是由几个部分的数学式子构成的，那么函数定义域是使各部分都有意义的实数的集合，即交集。（4）例１　求下列函数的定义域：（１）；　　　　（２）．例2设，求，，，．练习1：函数的定义域为（）A．B．C．D．练习2：函数的定义域是（）A.B.C.D.题型2：求复合函数和抽象函数的定义域1、复合函数的定义如果是的函数，又是的函数，即，，那么关于的函数叫做函数（外函数）和（内函数）的复合函数，其中是中间变量，自变量为函数值为。　例如：函数是由和复合而成立。2．求有关复合

7、函数和抽象函数的定义域(1)函数f(x)的定义域是指x的取值范围所组成的集合。(1)函数f(g(x))的定义域还是指x的取值范围，而不是g(x)的范围。(2)已知f(x)的定义域为A，求f(g(x))的定义域，其实质是已知g(x)的取值范围是A，求出x的取值范围。(3)已知f(g(x))的定义域为B，求f(x)的定义域，其实质是已知f(g(x))中的x的取值范围为B，求出g(x)的范围，此范围就是f(x)的定义域。(4)同在对应法则f下的范围相同，即f(t)、f(g(x))、f(h(x))三个函数中的t，g(x)，h(x)的范围相同。例1已知函数的定义域为

8、，求函数的定义域。例2已知函数的定义域为，求函数的定义域。例3已知