函数及其表示讲义

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1、函数及其表示一、映射根据题意填空。（1）（2）（3）（4）映射概念：一般地，设A，B是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应关系，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应，那么就称对应：A→B是集合A到集合B的映射。如上图：________________是映射。象与原象：给定一个集合A到集合B的映射，且∈A，∈B，如果元素和元素对应，那么我们把元素叫做元素的象，元素叫做元素的原象。注意：（1）集合A、B、对应关系是一个整体；（2）对应关系有“方向”，强调从A到B；（3）集合A中元素在集合B中都有象并且是唯一的，这个唯一性是构成映射的核心；（4

2、）集合A中不同的元素，在集合B中对应的象可以是同一个，集合B中元素对应集合A中的元素可能不止一个。对应可以为“一对一”或“多对一”，但不能是“一对多”；（5）集合B中的元素在A中不一定有原象。例1：设集合A＝N＋，B＝N＋，对应关系：x→y＝2x，则（1）集合A中元素2所对应的象是______________。（2）集合B中元素2所对对应的原象是__________。变式练习：设：A→B是从集合A到集合B的映射，A＝B＝{(x，y)｜x∈R，y∈R}，若：（x，y）→（x－y，x＋y）（1）求集合A中元素（－1，2）在集合B中对应的元素_______________。（2）

3、求集合B中元素（－1，2）在集合A中对应的元素_______________。【解析】：（1）(－3，1)（2）(，)14二、函数（一）、函数的概念：设A、B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系，使对于集合A中的任意一个数，在集合B中都有唯一确定的数和它对应，那么就称：A→B为从集合A到集合B的一个函数。记作：，∈A。其中，叫做自变量，的取值范围A叫做函数的定义域（集合）；与的值相对应的值叫做函数值，函数值的集合{｜∈A}叫做函数的值域（集合）。定义域、值域与对应关系统称为函数的三要素。例2：xyOxyOxyOxyO下面哪一个图形可以作为函数的图象（）ABCD变式练习：

4、设A＝{｜0≤≤2}，B＝{｜1≤≤2}，如下图，能表示从集合A到集合B的映射是（）1212A1212B1212C1212D（二）区间的概念：设，是两个实数，而且＜我们规定：（1）满足不等式≤≤的实数x的集合叫做闭区间，表示为[，]；（2）满足不等式＜＜的实数的集合叫做开区间，表示为(，)；（3）满足不等式≤＜或＜≤的实数的集合叫做半开半闭区间，分别表示为左闭右开和左开右闭区间。14定义符号定义名称符号数轴表示（三）、函数的定义域：自变量的取值范围。1、简单函数定义域的类型及求法：（1）分式函数中分母不等于零；（2）偶次根式函数被开方式大于或等于0；（3）一次函数、二次函数

5、的定义域为R；（4）y＝(＞0且≠1)，y＝sinx，y＝cosx，定义域均为R；（5）由实际问题建立的函数，还要符合实际问题的要求。2、对于抽象函数定义域的求法：（1）若已知函数的定义域为[，]，则复合函数的定义域由不等式≤≤求出；（2）若已知函数的定义域为[，]，则的定义域为在[，]上的值域。14例3：求下列函数的定义域。（1）＝（2）＝（3）＝＋（4）＝（6）＝变式练习1：设A＝{︱＝}，B＝{x︱y＝}，则A∩B＝______。变式练习3：设A＝{x︱y＝}，B＝{x︱y＝}，则A∩B＝______。例4：已知等腰三角形的周长为20，请将底边y表示为腰x的函数，并写

6、出x的取值范围。例5：（1）已知函数f(x)的定义域为[1，4]，则f(x＋2)的定义域为______________。（2）已知函数f(2x＋1)的定义域为(－1，0)，则f(x)的定义域为____________。变式练习：（1）已知函数f(x)的定义域为[－5，5]，则f(3－2x)的定义域为_______。（2）已知函数f(x＋1)的定义域为[0，3]，则f(x2)的定义域为_______。例6：下列说法中正确的是()A：y＝f(x)与y＝f(t)表示同一个函数B：y＝f(x)与y＝f(x＋1)不可能是同一函数C：f(x)＝1与f(x)＝x0表示同一函数D：定义域和

7、值域都相同的两个函数是同一个函数14变式练习：判断下列各组函数，哪些是同一函数（1）f(x)＝x与g(x)＝（2）f(x)＝x与g(x)＝（3）f(x)＝｜x｜与g(x)＝（4）f(x)＝x2与g(x)＝(x＋1)2（5）f(x)＝x与g(x)＝（6）f(x)＝与g(x)＝x－1（7）f(x)＝x2－2x＋1与g(t)＝t2－2t＋1例7：已知函数f(x)＝x2－2x－3，求（1）f(1)，f(2)（2）f()，f(＋1)（3）f(－1)，f[f(－1)]，f[f(－2)]（4）若g(x)＝，则求f[g(x)]和g