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1、蕴含数列中的数学思想方法山东省五莲一中王振香数列是高中数学的重要内容之一，与其它数学知识有着广泛、密切而又深入的交汇，这类数列综合问题往往蕴含着许多重要的数学思想与方法（如函数思想、方程思想、分类讨论、化归与转化思想、归纳猜想等），在分析与处理解决时，若能灵活地以这些数学思想与方法作思路指导，则会取得事半功倍的效果.一函数思想由于数列是以正整数为自变量的一种特殊离散型函数，则我们若能有意识地多从函数的角度去看待数列，在这种整体的、动态的观点之下加强数列与函数的联系，利用函数的图象和性质去解决数列的一系列问题，就会使数列的一些性质显现得更加清楚，使某些问题得到
2、更好地解决.例1.己知数列｛人｝是等差数列，若人=10,52/1=50,求人.解：分析：因kJ是等差数列，则知也为等差数列，巾此可用一次函数的方法解决问题.为等差数列，其通项为一次函数，将之设为/（x）=or+/?，则点在其图象上n2n/.6f/74-/?=—,a-2n+b=—f则解得==n2nnn故/(3n)=a解之得么,,=120.评注：&是关于n的一次函数，其图象是直线上的离散点.上述解法是利用待定系数法建n立一次函数来求解S3,，.当然更可利用结论“S,,，S2„-S,pS3z,成等差数列”这个等差数列的重要结论而简单解决木题.二方程（组）思想数列与
3、以前所学过的数、式、方程、函数、不等式、简易逻辑等许多知识都有广泛的联系，方程（组）忍想在学习过程中得以较为充分的体现，许多数列习题都可通过列出方程或方程组而求解.如，数列的通项公式与前n项和的公式紧密地联系着五个基本量apn,d（q），an，&，“知三求二”是一类最基本的运算.因此方程的观点是解决此类问题的基本数学思想与方法.例2.设｛义｝是正数组成的数列，其前n项和为并且对于所有的正整数Z7,人与2的等差中项等于&与2的等比中项，以此求｛&｝的通项公式.分析：由题设“&与2的等差中项等于&与2的等比中项”即可列出方程进行分析.解：由题意可知1■二整理得：
4、5„=
5、（^+2）2,当/7=1时，5,+2）2=6f,,解得6T,=2.又“，…=+1-人〜+1=去（〜+1+2）2-去（人+2）2，整理得：（U“,,）（6Z,,+I-“,,-4）=0.又•••an>0f.•.人+1—么=4,BPk/,,｝是首项为2、公差为4的等差数列，/.6/?1=4/7-2.点评：本例利用了方程的消元思想由人+1=+1-么、么=1（人+2）2消去么得到了8（人+
6、+^）（^,+1-^一4）=0这一方程，找到了数列中相邻两项的递推关系，使问题得到了解决.值得注意的是有的吋候可借助么+1=+1-人消去人利用人+P递推关系解题.
7、例3.己知等差数列｛%｝的公差是正数，并且=-12,6Z4+tz6=-4，求前n项的和么.分析：由6f4+6/6=-4可知=-4,结合条件6f36f7=—12可得相关方程.解：由等差数列｛“,,｝知：a3+=tz4+a6,从而a/z7=-12,6/3+<77=-4,故么％是方程x2+4x-12=0的两根,又d〉0,解之得:a3=-6,a7=2.再解方程组6Z,+2d=-6+6d=2ax=-10d=2,因此有么=—10"+"(Z2-1).点评：本题利用了6Z3++=6Z4+6Z6这一性质构造了二次方程，从屮巧妙的解出了两个量^=-6,^7=2,再利用方程求得了
8、首项与公差的值，从而使问题得到解决，由此可知在数列解题时往往可借助方程的思想与人（或人•人=〜•％）找出解题的捷径.三分类讨论思想所谓分类讨论，就是当问题所给出的对象不能进行统一研宂时，我们就需要对所研宂的对象分门别类的进行研宄，最后综合各类的结果得到W题的解决.例4.设等比数列的公比为6/,前11项和乙〉0什=1，2，...）.（I）求6/的取值范围；（II）设么=人+2—记的前n项和为7；,试比较S,,与7；的大小.分析：凡涉及等比数列和的问题，一般而言均需分类讨论.解：（I）因为｛么｝是等比数列，〉0，可得％=51〉0,
9、当？矣1吋，二即M〉0，（h=1，2，."）i-ql-q上式等价于不等式组：P_^<（）’，（Z2=1，2，...）①mj1_9>（）’，（n:l，2，...）®[l~Qn<0[l~>0解①式得q>l;解②，由于n可为奇数、可为偶数，得一l0即7；>乂,2当—+10、0时，7；—<0即7；<当去或^^时，7；-5,
