浅谈三角函数中蕴含的数学思想方法

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1、浅谈三角函数中蕴含的数学思想方法江苏省泗阳王集中学董振宇【摘要】三角函数包括三角函数的定义，图像和性质；同角三角函数的关系、诱导公式、和差倍角公式等。重视对三角函数的图像和三角函数的性质及三角函数恒等变形。而我们在平时的训练中不是做题越多越好，而是在掌握表层知识的同时，领悟到深层知识。也就是要求我们在解题中要注重渗透数学思想、方法，只有这样，我们才能超脱“题海”之苦，朝着更有朝气和创造性的方向迈进。【关键词】数学思想方法分类讨论数形结合函数建模角的代换化归从近年来全国高考试题来看，每年都有2到3道关于三角函数内容的试题，占全卷总分的12%左右。高考重视对三角函数基础

2、知识的考察，一般来说，试题的难度不大，会控制在“易”到“中等”的程度。但我们也需清醒的认识到，随着新课程计划的执行，试题的灵活性越来越大，对思维的要求也越来越高。主要突出对数学思想方法的考察，如分类讨论思想、数形结合思想，函数方程思想，转化思想等在试卷中以各种不同层次融入试题之中。因此，这就要求我们在平时的解题中要知其然，更要知其所以然，不断地总结提高，并使之与数学思想方法相结合。以下就是我在解决三角函数题目时常用到的几种数学思想方法，总结出来与大家一起分享。1、分类讨论思想依据数学研究对象本质属性的相同点和差异点，将数学对象分为不同种类的数学思想叫做分类的思想。将

3、事物进行分类，然后对划分的每一类分别进行研究和求解的方法叫做分类讨论的方法。例1：设，且恒成立，求m的取值范围。解析：令令，则在上恒成立，所以，在上恒成立。由二次函数图像分类讨论得，（1）当（2）当（3）综上所述，得1、数形结合的思想“依性作图，以图识性”是数形结合思想的重要体现，三角函数在本质上是对单位圆圆周上一点运动的“动态描述”，它的种种性质和公式都是和单位圆的几何性质密切关联的，这是研究三角函数的重要思想和方法。在解决三角函数的有关问题中，应自觉运用单位圆中的三角函数线和三角函数的图象，以形助数，数形结合。例2：不求值比较sin24°与cos24°的大小。分

4、析：在本题中我们只需作出小于45°角正弦线与余弦线，然后进行比较就很容易得出结论。OATYX24°45°°°°°°解:由图可知：Sin24°，Cos24°的正弦线、余弦线分别为AT，OA即Sin24°＝ATCos24°＝OA由图知AT＜OA所以,Sin24°＜Cos24°三角函数线作为三角函数的几何表示，它给予三角函数的定义以直观的解释，加深了形与数的结合。1、函数建模思想三角函数是中学数学的重要内容之一，三角函数与我们的日常生活和生产实践密切相关。如物理学中单摆无能运动、波的传播、交流电、海水的潮汐变化等方面都可以用三角函数来分析和理解，而解决这部分问题，关键是建

5、立数学模型。例3：海水受日月的引力，在一定的时候发生涨落的现象叫潮汐，一般的早潮中潮，晚潮中汐。在通常情况下，船在涨潮时驶进航道，靠近船坞；卸货后落潮时返回海洋。下面给出了某港口在某季节每天几个时刻的水深。时刻水深/m时刻水深/m时刻水深/m0：005．09：002．518：005．03：007．512：005．021：002．56：005．015：007．524：005．0选用一个三角函数来近似地描述这个港口的水深与时间的函数关系。解：可设所求函数关系式为：f（x）=Asinwt+k，由已知的数据求得A=2.5k=5T=12w=2∏／T=∏／６故f（x）=２.5s

6、in∏/6·t+52、角的代换思想三角函数中公式比较多，很多同学反映公式难记，严重影响到解题的速度和正确率，所以可以用我们已记住的公式来推导出另一些公式。例4：如果我们知道公式cos（∏/2－α）＝sinα①，就可以知道sin（∏/2－α）＝cosα，推导的过程是：令∏/2－α代换①式中的α，得cos[∏/2－（∏/2－α）]＝　sin（∏/2－α），即得：sin（∏/2－α）＝cosα用这种思想方法我们可以推导出两角和（差）的正弦或余弦公式，而不需我们再去死记硬背公式了，经过我们的推导记忆也就更深刻了。3、化归思想化归思想有人亦称之为转化思想，这是反映数学技巧手段

7、的一种十分重要的思想。在解题过程中通过这种技巧方法，使问题转化为我们较熟悉的、较简单的或者已经解决的形式从而得到解题数学思想方法。化归思想在三角函数中应用非常普遍，主要体现在：①化多角的形式为单角的形式；②化多种函数名称为一种函数名称；③化未知角为已知角；④化高次为低次；⑤化特殊为一般。例5：求sin15°的值时，我们可以说不好求，但我们可以将其转化为求sin（45°－30°）的值。这样利用两角差的正弦公式就可以轻易求解了。因此，我们说数学思想方法是数学的灵魂与精髓，它是学生获取知识的手段，是联系各项知识的纽带，是知识转化为能力的桥梁。学生掌握了数学思想方法就能