《数学物理方程》习题参考答案(a)

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1、《数学物理方程》习题参考答案(A)习题一1.判断方程的类型，并将其化成标准形式：.解：①当时，所给方程为双曲型，其特征方程为即就是.积分之，得，此即两族相异的实特征线.作可逆自变量代换则将这些偏导数代入原方程，得15附注：若令（双曲型的另一标准形），这是巧合.②当时，所给方程为椭圆型，其特征方程为即其特征线为.作可逆自变量代换则将这些偏导数代入原方程，得此即（时）所求之标准形.③时，原方程变为已是标准形了（不必再化）.152.化标准形：解：.这是的二次型，于是其中为实对称矩阵.则可逆矩阵，使为对角形.令其中则.的找法很多，可配方，可从矩阵入手等.取则15这是超双曲型方程的标准形式.习题

2、二1.决定任意函数法：(1).求解第一问题.解：所给方程为双曲型，其特征线为.令则可将方程化为.其一般解为（其中为二次连续可微函数）.由定解条件有.则故(2).求解第二问题解：泛定方程的一般解为由定解条件有则15故(3).证明方程的解可以写成.由此求该方程满足Cauchy条件的解.解：令则满足方程..故.因满足由D'Alembert公式，得+故即为所求之解.2.Poisson公式及应用：(1).若是初值问题的解，试求解的表达式.解：（线性叠加原理），其中分别满足如下的初值问题：15由Poisson公式，可得故15(2).求解初值问题解：，其中：：由poisson公式，得.由Duhame

3、l原理，得故即为所求.3.降维法：解：把所给初值问题的解看作空间中的函数，即与平面垂直的直线上的函数值都相等：，则应形式的满足由推迟势可得15.此即所求初值问题解的积分表达式.习题三1.求解特征值问题解：该特征值问题要有解.时，记，则..由，有.从而.由..此即确定（从而确定）的超越方程.由图解法，曲线有无穷个交点，其横坐标，从而便是非0特征值，相应的特征函数为由，有.由，有.此时只有平凡解.综上，所求特征值问题的解15.其中为超越方程的正根.附注：下证特征函数系是上的正交系：事实上，设和分别是相应于不同特征值和的特征函数，即和分别满足(1)(2)则,即若则.即在上，不同特征值所对应的

4、特征函数彼此正交.2.用分离变量法求波动方程混合问题的形式解，其中为常数.解：(1).边界条件齐次化：令使15（这不是定解问题），则取即可.这时满足(2).“拆”——由线性叠加原理：，其中(3).用分离变量法求得.其中，.(都可算出来).(4).由Duhamel原理：,其中满足用分离变量法求得.其中.(可算出).15综上：.习题四1.用分离变量法求热方程混合问题的形式解.解：这是齐次方程、齐次边界条件情形，直接分离变量：令，代入泛定方程，得从而.由边界条件，得于是，特征值问题为特征值，特征函数为，.而.取利用上的正交性，可定出.,给出所求混合问题的形式解.附注：若令满足15用分离变量法

5、求得.而同，这恰与上面结果一致.习题五用Fourier变换法求初值问题的形式解.解：方程和初始条件两端关于做Fourier变换(视为参数),并记.则原问题化为常微分方程的初值问题：其解为.故15即为所求.习题六1.求边值问题的形式解.解：用分离变量法：令，代入泛定方程可得，因而，（Euler方程）.由边界条件，得.于是特征值问题为特征值，特征函数为.而Euler方程的解.为保证有界性应取，从而.取.由边界条件，应有.由在上的正交性，可得15.,给出所求问题的形式解.2.用Green函数法求解上半平面Dirichlet问题解：根据二维Poisson方程Dirichlet问题解的积分表达式

6、（其中是内任一点，是边界上点的外法线方向）.其中称为Green函数，找的问题归结为“特定装置下”找感应电荷所产生的电势.对上半平面而言，若在处放置单位正电荷，它在处产生的电势为，则感应电荷应放在关于的对称点处，电量为-1，它于15处产生的电势为，从而Green函数为.故所求解为15