数学物理方程习题

《数学物理方程习题》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、一、一维齐次方程的初值问题考虑无限长弦的自由振动问题：达朗贝尔(D’Alembert)公式二、无界弦的受迫振动和齐次化原理由叠加原理可知，若是初值问题齐次方程，非齐次初始条件是初值问题则是初值问题（10）～（11）的解。非齐次方程，齐次初始条件一维非齐次波动方程初值问题的Kirchhoff公式定理1（齐次化原理或Duhamel原理）设若满足：则三、半无界弦的振动问题对称延拓法的理论依据：如果自由项初始数据和是奇（偶）函数，则由表达式（19）所定义的函数是的奇（偶）函数。的端点固定端点自由奇延拓偶延拓四、三

2、维波动方程三维波动方程初值问题解的泊松公式非齐次方程的初值问题和推迟势其中Kirchhoff公式五、二维齐次波动方程的初值问题二维波动方程初值问题的Poisson公式二维非齐次波动方程的初值问题利用叠加原理和齐次化原理，可以得到其解为五、依赖区域、影响区域、决定区域从达朗贝尔公式（9）还可看出，解在任一点的值为可见的值完全由在区间上的值唯一确定，而与其它点上的初值无关。我们称区间为点的依赖区间。依赖区间如图显然，它是由过点条斜率分别为轴所截得的区间。的两的直线在1维，，过点作一特征线过点作另一特征线它们和

3、区间围成一个三角形区域K，该区域中任一点的依赖区间都落在内，我们称区域K为区间的决定区域。决定区域K如图在区间上给定初值，就可以在决定区域K中决定初值问题的解。轴上任取一区间在，因此解任一点的数值完全由区间上的初值决定，而与此区间外的初始条件无关，在K中的因此该扰动的影响范围是，影响区域如图下面我们考虑当初始时刻发生有限区间上的扰动时，在时刻，它所影响的区域是什么？。由解的物理意义可知，在时刻，左传播波到达区间右传播波到达区间我们把称为区间的影响区域。平面上的区域依赖区域在二维情形下，任取一点由二维齐次波

4、动方程的初值问题解的泊松公式得2维、3维由此可见，解在上的值依赖于初值函数在圆域上的值，而与在圆外的值无关。圆域称为点的依赖区域。它可看作锥体与平面相交截得的圆域。在三维情形下，任取一点由三维齐次波动方程的初值问题解的泊松公式可知，它的依赖区域是球面它可看作锥面与超平面相交所截得的球面。决定区域在二维情形下，对于锥体中任何一点其解的依赖区域都包含在圆域内。因此圆域就决定了锥体中每一点上解的值。锥体称为圆域的决定区域。类似地，在三维情形下，给定球域我们称空间的锥体域为球域的决定区域。解在锥体域内任何一点的值

5、都由球域上的初值所决定。影响区域在二维情形下，我们在初始平面任取一点作一锥体域锥体域中任何一点其依赖区域都包括点即解受到上定义的初值和的影响，而外任何一点的依赖区域都不包含点称锥体域为点的影响区域。类似地，锥面称为点的影响区域，即点处给定的初值只影响到解在上的点的取值，而不影响解在外的点的取值。特征锥以点为顶点的圆锥面称为二维波动方程的特征锥。以点为顶点的圆锥面称为三维波动方程的特征锥。从以上可以看出，特征锥在波动方程初值问题解的依赖区域、决定区域和影响区域中起着重要作用。