《数学物理方程》习题精练.doc

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1、《数学物理方程》习题精练————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期：《数学物理方程》习题精练5(椭圆型方程的边值问题)内容1.分离变量法2.调和函数的性质与极值原理3.Dirichlet问题的Green函数法1.分离变量法(1)Poisson方程边值问题的“特解法”Poisson方程描述稳恒场的分布情况，对于Poisson方程的边值问题，虽不像波动方程和热传导方程那样有所谓的Duhamel原理，但若能找到Poisson方程的一个特解，常可把它转化成La

2、place方程的边值问题来求解，这便是所谓的“特解法”.今有边值问题(*)设是Poisson方程的一个解(特解)，是所给边值问题的解.令，则满足如下的边值问题(**)亦即是域上的调和函数.这样，就把Poisson方程的边值问题(*)转化成Laplace方程的边值问题(**).对于特殊的区域，我们还可以用分离变量法来求解(**).例1求解Poisson方程的边值问题解①先寻求Poisson方程的一个特解.显然，，于是得到一个特解为.令，则新的未知函数满足如下的定解问题：②在平面极坐标系下用分离变量法求解关于的圆域边值问题：根据Laplace方程圆域

3、Dirichlet问题的形式解(或Poisson积分公式)我们得到(令)第一项和第二项积分等于零，第三项积分当且仅当时不等于零..[或者由分离变量法得到Laplace方程满足自然单值条件和在圆域内有界的解为，由边界条件得，比较两端系数得，∴].故所求Poisson方程边值问题的解为.附注用“特解法”求解Poisson方程的边值问题，由于特解的寻求多种多样，自然是越简单越好，以减少繁杂的计算.特解找到后，则问题便转化成Laplace方程的边值问题.就圆域而言，在极坐标系下分离变量，问题已经解决.因而特解的寻求以对称形式为好，对本例来说结果是现成的.

4、例2求解Poisson方程边值问题解特解，令，则满足其解为，代入边界条件有，比较系数得.∴故.附注〈ⅰ〉这个问题在用“特解法”转化成Laplace方程的边值问题后，由于区域是圆域，且在边界上取常数值(),故只可能是常数解，这是Laplace方程边值问题所共有的特点，是应予以重视的.这也可从调和函数的极值原理立即推出.〈ⅱ〉Poisson方程的边值问题都可以通过“特解法”转化成Laplace方程边值问题的求解，因而Laplace方程边值问题的求解是关键.〈ⅲ〉非圆域情形的Laplace方程的边值问题，用分离变量法求解，可不必化成极坐标.例如矩形域：

5、而边界条件的特点是：一组为齐次边值，而另一组必为非齐次边值(否则只有零解).齐次边值用来构成特征值问题，而非齐次边值用来确定叠加系数，这是必须注意的.总之，“特解”的寻求多种多样，具体问题具体分析，切忌死搬硬套.★亥姆霍兹(Helmholtz)方程在柱坐标系下的变量分离在柱坐标系下，Helmholtz方程变为.(A)设，可得，以除上式并移项，得.于是，(B).再设，可得，以乘之并移项，得，于是(C).(D)记，若，令若，令，并记，并记，则(D)变成则(D)变成.(E).(F)称为阶Bessel方程.称为阶变形(或虚宗量)Bessel方程.换为附注

6、〈ⅰ〉Helmholtz方程在球坐标系下分离变量可得，令，则可化为，称为球Bessel方程.〈ⅱ〉对三维波动方程和三维热传导方程将时间变量和空间变量分离，都会导出Helmholtz方程，其中便是分离变量时引入的泛定常数，时，Helmholtz方程成为Laplace方程.2.调和函数的性质与极值原理例3试证：对于Poisson方程的解来说，当为正(为负)时，不能为极小(极大).证若在点有极值，则一元函数在有极值，在有极值，在有极值.而对于一元函数，若在有极值，则，一般的，若在点，，而，则以下我们用反证法来证明：由于，①当时，若为极小，则而于是.但，

7、矛盾.②当时，同样可以证明.附注〈ⅰ〉物理解释：对于的情形，Poisson方程的解有明显的物理意义：内部有热源的稳恒的温度场，其温度函数便满足Poisson方程.若于物体内点处放一热源，则处的温度不会比其附近的温度低.对于按电荷密度分布的带电体也是这样.〈ⅱ〉上述性质可以推广到如下的方程，其中皆为的已知函数.我们有如下的结论：①若，则不能为正的极大.②若，则不能为负的极小.证明仍用反证法.①设，若为正的极大，则因为，从而，这与原方程矛盾.同样可证明②.〈ⅲ〉更一般的我们有对于方程，其中都只是的已知函数，若矩阵是正定的，并且，则当时，不能在有界域内

8、取负的极小值；而当时，不能在有界域内取正的极大值.证明事实上，若不然，设当时，在有界域内处取负的极小值，则由取极值的必要条件：，而正定，