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《数学物理方程习题解答》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。
1、其中。为杆的密度，E为杨氏模量。证：在杆上任取一段，其中两端于静止时的坐标分别为兀与x+心。现在计算这段杆在时刻/的相对伸长。在时刻/这段杆两端的坐标分别为：兀+u(x,/);兀+△%+u(x+心J)其相对伸长等于［X+A5心+山』)］十+必")］一心訴(“如,/)Ax令心TO,取极限得在点兀的相对伸长为uv(x,r)o由虎克定律，张力7(x,r)等于T(x,t)=E(x)ux(x,t)其小E(x)是在点x的杨氏模量。设杆的横截面面积为S(jt),则作用在杆段(兀,兀+心)两端的力分别为E(x)S(x)«i(x,f);E(x+Ax)S(x+Ax)叭(
2、x+A_x,f).于是得运动方程p(x)s(x)-Ax-utt(x,Z)=ESuv(x+Ax)-ESux(x)x利用微分中值定理，消去心，再令心-0得p(x)s(x)utt=—(ESux)ox若$(x)=常量，则得。⑴嘤£(E(x)譽)dtoxox即得所证。2.在杆纵向振动时，假设(1)端点固定，(2)端点口由，(3)端点固定在弹性支承上，试分别导出这三种情况下所对应的边界条件。解：(1)杆的两端被固定在兀=0,兀=/两点则相应的边界条件为du,dxu(0,/)=0,“(?,/)=0.⑵若X=1为白由端，则杆在X=l的张力T(/,r)=E(x)—1
3、1筹于零，因此相应的边界条件为OX即(矿®)I.=0-/(0.qqo23.试证：圆锥形枢轴的纵振动方程为£—[(1--)2—]=p(l--)2dxhdxhdt-其中/z为圆锥的高（如图1）证：如图，不妨设枢轴底而的半径为1,则x点处截面的半径/为：1=1--h所以截而积$（兀）二龙（1-兰）S利用第1题，得hd2u2[E心尸迦]dxhdx若E（x）=E为常量，则得d2u4.绝对柔软逐条而均匀的弦线有一端固定，在它本身重力作用下，此线处于铅垂平衡位置，试导出此线的微小横振动方程。解：如图2,设弦长为儿弦的线密度为Q，则x点处的张力7XQ为T(x)=RT
4、（x）的方向总是沿着弦在兀点处的切线方向。仍以表示弦上各点在时刻/沿垂直于x轴方向的位移，取弦段（兀兀+心），贝ij弦段两端张力在u轴方向的投影分别为pg(I-x)sin&(x);pg(l-(x+Ar))sin0{x+Ar)其中&（Q表示T（x）方向与兀轴的夹角于是得运动方程PAx^=[/-(x+Ar)]g-Iy"]營Sd；=~(t2-x2-y2)空+3(『2—兀2_y2)空订2dt2_3=(r2-x2-y2)㊁•(2"+兀2+),2)_3矜2_，2宀1+3(?_252x2/—2)-訂2+2宀y2同理2-宀2『d^u(222d2ua?225dud
5、u(?22卜T’c9?2所以丽+乔"一…汀2(2……y即得所证。6.在单性杆纵振动时，若考虑摩阻的影响，并设摩阻力密度涵数（即单位质量所受的摩阻力）•杆件在该点的速度大小成正比（比例系数设为b）,但方向相反,试导出这时位移函数所满足的微分方程.解：利用第1题的推导,由题意知此时尚须考虑杆段（兀,兀+心）上所受的摩阻力.由题设，单位质最所受摩阻力为-b”,故（圮兀+心）上所受摩阻力为-b・p（x）s（x）・Ax詈p（x）5（x）Ax•匕£=ESdt2利用微分中值定理，消去心，再令心TO得运动方程为:82ux+Axdu-ES—x-b•/7(x)5(x)A
6、x—dxdtau£S8udx-/?/?(x)5(x)8u~dt若s（X）=常数,则得且屮r.o刀TK、II、J卑贸单口J1畝肉釵丿•岀用牛匕ll、J仞111冋邂:t=0:u=(p(x),賈=屮(兀).解：令(/?-X)bl=V则dr/Jduzd\/7xduZJx?duwd2v.—[(h-xy—=-(u+—)+(/2-x)—+(A-xy—=(/?一x)(w+dxdxoxdxdxSx(Fd2v代入原方程，得(h7)a2vd2v1d2vdx2a2dt2山波动方程通解表达式得F(x-at)+G(x+at)所以v(x,f)=F(x-at)+G(x+at)(h
7、—x)为原方程的通解。山初始条件得宀[F(x)+G(x)]n-xJ—[-〃J)+°G/(x)]h-x1X心)=0(x)(1)所以F(兀)-G(x)=—J(a-h)i//(a)da+ca®由(1),(2)两式解出11Arc=—(/?-xWx)+——(a-h}u/(a}da+—于任何x,t有G（x+at）三常数.即对任何x，G(x)=C()]1pC又G(x)=—0(x)+—[i//(a)da22aK)2a所以0(x),讥X)应满足0（尤）+丄ri//（a）da=C、（常数）Cl也1或（p（x）+—0（x）=Oa3•利用传播波法，求解波动方程的特征问题（
8、乂称古尔沙问题）@(0)=0(0))d2ll252Wo"=atdt~dx~0(x)x+ai=O0(兀).解:
