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1、习题一1.略2.略3.在河道上取微元Δx，在任一点x处和x+Δx有两个截面。从t到这段时间内从x面流出的水的质量为：Svxt⋅⋅Δ()(),,ρxtt，从x+Δx面流出的水质量为Svx⋅+()Δ⋅+xt,,ρ(xΔΔxtt)，所以这微元中水的质量为Δ=⋅xSvx[,()+Δxt⋅ρρ(x+Δxt,,)−(xtvxt)(,)]Δt。由在时刻t的流体质量为Δ⋅xSxtρ(),。在时刻tt+Δ的流体质量为Δx⋅+Sxttρ(),Δ，在时间Δt内这微元Δx内的流体净增量为Δ=Δ⋅⋅txSxυρ(,,ttx+Δ
2、−Δ⋅⋅)Sx(t)。∂ρ∂ρv由于连续性，有Δ=Δ，令Δ→Δ→xt0,0得+=0xt∂∂tx用微分法建立微分形式的连续性方程：设在流场中取一固定微平行六面体（控制体），在直角坐标O中边长取为ΔΔΔx,,yz。xyz流体运动时，流体将流入、流出该控制体时控制体内的流体质量发生变化下面计算这些流入、流出量及控制体流体质量的变化，并根据质量守恒定律建立连续性方程。t时刻点A()xyz,,的流体密度为ρ(x,,,yzt)ZYCGG速度为Uxyzt(),,,其分量为uvw,,，0XDH考虑六面体元每个面上质量
3、的流入或流出，由于每个面只与一个坐标轴垂直，故每个面上只有一个速度分量使相应的质量流入或流出该六F面体，先计算与x垂直的两个面ABCD和AEEFGH上的质量流量。在ABCD面上，Δt时间内将有ρudydztΔ的流体质量流入六面体，在EFGH面上，再Δt时间内将有∂(ρu)ρ()x+Δxyztyzt,,,ΔΔΔ=ρ()x,,,yztyztΔΔΔ+ΔΔΔΔxyzt∂x∂(ρu)的质量流出该六面体，这样，通过这两个面Δt时间内就有ΔxΔΔΔyzt的流体质量∂x（净）流出该六面体。1∂(ρv)同理，在Δt时间
4、内，通过Oy方向两个净流出的流体质量为ΔxΔΔΔyzt，在Δt∂x∂(ρw)时间内通过OZ方向两个面净流出的流体质量为ΔxΔΔΔyzt，这样在Δt时间内通过∂x六面体的全部面的净流出的流体质量为⎡⎤∂∂∂()ρρρuvw()()⎢⎥++ΔxΔyztΔΔ⎣⎦∂∂∂xyz与此同时，次六面体内的质量将发生变化，因在t时刻，六面体内的流体质量为ρΔΔΔxyz。经过时间Δt后，即在tt+Δ时刻，六面体的质量将是ρ(x,,,yzt+ΔΔΔΔtxyz)。∂ρ∂ρ在Δt时间内，六面体内的质量增加了ΔxΔΔΔyzt或减
5、少了−ΔΔΔΔxyzt。于是根据∂t∂t质量守恒定律，在Δt时间内，六面体内所减少的质量一定等于同一时间内从六面体中流出俄质量：∂ρ⎡⎤∂∂∂(ρρρuvw)()()−ΔxΔyztΔΔ=⎢⎥++ΔxΔyztΔΔ∂t⎣⎦∂∂∂xyz约去ΔΔΔΔxyzt并令Δ→Δ→Δ→Δ→xyzt0,0,0,0，有∂ρ∂∂∂()ρρρuvw()()+++=0∂∂∂∂txyz∂ρ表示单位时间内单位体积的质量增量。∂t∂∂∂()ρuvw()ρρ()++表示单位时间内单位体积内质量的净流出量。∂∂∂xyzG∂∂∂()ρuvw(
6、ρρ)()由于div()ρU=++，∂∂∂xyz所以连续性方程写为∂ρG+div()ρU=0∂tGGG又div(ρU)=ρ⋅+divUU⋅∇ρDρ∂ρG以及=+⋅∇UρDt∂t2DρG所以连续性方程为：+⋅ρdivU=0Dt∂G特殊情况：（1）对定常运动=0所以连续性方程为div(ρU)=0它表示单位体积内净流∂t出的质量为零（质量的流入和流出相等）Dρ(2)对于不可压缩流体，由于流体的密度在运动过程中保持不变，故=0这DtG是连续性方程为divU=0它表明流体为不可压缩时体积不膨胀也不收缩。4密度均
7、匀的而柔软的薄膜的振动张力在X的横向分量为−Tsinθ，张力在x+Δx点的11横向分量为Tsinθ。张力在X的纵向分量为−Tcosθ，张力在x+Δx点的纵向分量为2211Tcosθ，张力在y点的横向分量为−Tsinβ，张力在yy+Δ点的横向分量为Tsinβ。221122张力在y的纵向分量为−Tcosβ，张力在x+Δx点的纵向分量为Tcosβ。1122纵向：−Tcosθ−Tcosβ+Tcosθ+Tcosβ=011112222横向：Tsinθ−Tsinθ−Tsinβ+Tsinβ=022111122质量md
8、=ρs，由牛顿定律F=ma得22∂u∂um=ρds=Tsinθ−Tsinθ−Tsinβ+Tsinβ2222111122∂t∂t因为薄膜作微小振动，θ,,,θββ很小，故cosθ≈cosθ≈1，cosβ≈≈cosβ112121212弦在x,y方向平衡。所以TTT==。12∂u则−=TTTsinθθθ−=sin−=tg−T
9、1111()x,y∂x∂uTTTsinθθθ===sintgT
10、2222()x+Δxy,∂x∂u−=TTTsinβφβ−=sin−=tg
