数学物理方程期中考参考答案

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1、学院姓名学号任课老师考场教室__________选课号/座位号………密………封………线………以………内………答………题………无………效……电子科技大学2011-2012学年第一学期期中考试A卷课程名称：数学物理方程考试形式：闭卷考试日期：2011年11月11日考试时长：90分钟本试卷试题由四部分构成，共五页。题号一二三四合计得分得分一、（30分）假设考虑一维波动方程的初值问题：　证明它的解由下述的达朗贝尔(D’Alembert)公式给出:解：令，则，，，　代入中，得　第7页共页学院姓名学号任课老师考场教室___

2、_______选课号/座位号………密………封………线………以………内………答………题………无………效……由于，即可知　　　　　　把它关于积分一次，再关于积分一次，可知它的通解为其中F和G是任意两个可微的单变量函数。将和替换回原来的自变量，则原方程的通解为　由初始条件可得（1）　（2）由（2）式两边积分，得（3）其中是任意一点，而是积分常数。由（1）和（3），解得　把F,G代入u的表达式中，就可得原问题的解将此表达式代入原方程组，易知：若它确实是一维波动方程的柯西问题的经典解。第7页共页学院姓名学号任课老师考场教

3、室__________选课号/座位号………密………封………线………以………内………答………题………无………效……得分一、（25分）求解下面的半无界弦的振动问题：其中并且满足解：由叠加原理，原问题的解可分解为其中和分别是下面问题的解：和问题（I）对应的柯西问题的解，由达朗贝尔公式给出：由题意知仅在上给出，为利用达朗贝尔解，必须将开拓到上，为此利用边值条件，得因此对任何可以令第7页共页学院姓名学号任课老师考场教室__________选课号/座位号………密………封………线………以………内………答………题………无………

4、效……即可以奇开拓到上。记开拓后的函数为：此时解为问题（II）对应的柯西问题的解，可由齐次化原理给出：因为是奇函数，故（II）的解奇延拓到全空间后即为。因此原问题的解为当时，当时，若并且满足相容性条件：则是此半无界问题的经典解。第7页共页学院姓名学号任课老师考场教室__________选课号/座位号………密………封………线………以………内………答………题………无………效……得分0一、（30分）求解下面的初边值问题：解：首先分离变量。令，将它代入方程得则存在常数使得由边界条件得：(1)求问题(1)的非平凡解，分以

5、下三种情形讨论。时，方程的通解为由得由得解以上方程组，得，，故时得不到非平凡解。时，方程的通解为由边值得，再由得，仍得不到非平凡解。时，方程的通解为第7页共页学院姓名学号任课老师考场教室__________选课号/座位号………密………封………线………以………内………答………题………无………效……由得，再由得。为了使，必须，于是且相应地得到将代入方程，解得于是再由初始条件得解得故原问题的解为将此表达式代入方程以及初边值条件中验算，可知是该初边值问题的经典解。第7页共页学院姓名学号任课老师考场教室_________

6、_选课号/座位号………密………封………线………以………内………答………题………无………效……得分一、（15分）论述并举例说明惠更斯原理以及波的弥散现象。要点：由波方程柯西问题的解的泊松公式可知，波的无后效现象（惠更斯原理）和有后效现象（波的弥散）取决于空间维数的奇偶性。（1）惠更斯原理：奇数维空间（一维除外）中的球面波，传过之后不会留下后续效应。若波方程的行波解的速度为a,则由泊松公式可知，在离声源M0距离为r的一点M1,只有在时间t=r/a的时候才受到初始时刻在M0发出的瞬时扰动的影响，而过后马上回复到扰动前

7、的状态。在现实中，如果初始扰动发生在某个有界区域，则一段时间后，影响的区域是一个半径一致的球面簇，其前后阵面（包络面）可以被容易地观察到。例子：三维的声波。从某个声源发出声波后，过一段时间传入耳中，并且声音的长短和发出的声音是一样的。（2）波的弥散：在偶数维空间或一维空间中，波的传播有后续效应。由泊松公式可知，声源M0的影响区域是一个M0为中心的球（二维时为圆），所以在离声源M0距离为r的一点M1,在某时刻开始受到初始时刻在M0发出的瞬时扰动的影响，此后仍会继续受到影响，但会减弱（因为泊松公式的分母中有时间t）

8、。如果初始扰动发生在某个有界区域，则容易观察到波传播的前阵面，但观察不到后阵面。例子：二维的水波。把垂直石头扔进水中，会产生持续的波纹，并且在某个固定点的波纹会从清晰变得模糊。第7页共页