推理及证明60525

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1、金陵中学2012-2013学年高二上数学教案2．1合情推理与演绎推理第一课时归纳推理教学目标1．能利用不完全归纳的方法进行简单的推理；2．体会归纳推理在数学发现中的重要作用．重点难点教学重点：归纳推理的特点和它的作用．教学难点：通过实例的分析和讲解提高学生的数学思维能力．教学过程（一）问题情境从一个或几个已知的命题得出另一个新命题的思维过程称为推理．任何推理都包含前提和结论两部分，前提是推理所依据的命题，他告诉我们已知的知识是什么；结论是根据前提推得的命题，他告诉我们推出的知识是什么．考察下面一些前提，你会导出什么结论？前提：4＝2＋26＝3＋38＝3＋510＝3＋7＝5＋51

2、2＝5＋714＝3＋11＝7＋716＝3＋13＝5＋1118＝5＋13＝7＋1120＝3＋17＝7＋13，……结论：任何大于2的偶数可以表示为两个素数之和（简称“1＋1”）．这就是著名的“哥德巴赫猜想”．（二）学生活动请具体分析一下上述推理的具体过程吗？1．首先，注意到上述前提中的某些相似性．4，6，8，10，12，14，16，20都是偶数；2，3，5，7，11，13，17都是素数；每一个等式之间也有彼此类似的地方；2．其次，进行概括、推广．从4，6，8，10，12，14，16，20这些偶数的实例扩大到大于2的偶数；从2，3，5，7，11，13，17这些素数的实例扩大到所有素数

3、；继续推广得到一个可能的一般关系式：大于2的偶数＝素数＋素数；（三）数学理论上述思维过程，可以表示为实验、观察概括、推广猜测一般结论这种从个别事实中推出一般性结论的推理通常称为归纳推理，简称归纳法．归纳法是一种非常重要的推理方法，在我们日常生活中和科学发现中人们大量使用，例如21金陵中学2012-2013学年高二上数学教案（1）“瑞雪兆丰年”；（2）“三角形的内角和是180°，凸四边形的内角和是360°，凸四边形的内角和是540°”，……猜想：凸n边形的内角和是(n－2)×180°；（3）费马数猜想1640年，法国数学家费马发现数列5，17，257，65537都是素数，于是他猜

4、想，任何形如2＋1(n∈N)的数（通常称为费马数，记作Fn）都是素数；（4）四色猜想1852年，弗南西斯·格思里搞地图着色工作时，发现了一种有趣的现象：“看来，每幅地图都可以用四种颜色着色，使得有共同边界的国家着上不同的颜色。”[学生活动]列举几个归纳推理的例子．[注意]必须注意从上述归纳过程得出的一个结论还仅仅是一个猜想，也就是说，这个命题决没有被证明，也没有资格作为真理．例如：从一个袋子中摸出第一个球是红球，第二个球也是红球，第三个、第四个、第五个都是红球时，我们的猜想：“袋子中的球都是红球”是不可靠的．刚才举的一些例子中，（i）有些已经得到了验证，如三角形的内角和；四色猜

5、想（1976年，美国数学家阿佩尔与哈肯在美国伊利诺斯大学的两台不同的电子计算机上，用了1200个小时，作了100亿判断，终于完成了四色定理的证明）（ii）有些已经被否定，如费马数都是素数（1732年欧拉发现F5＝2＋1＝641×6700417不是素数）（iii）有些问题至今也没有解决，如哥德巴赫猜想哥德巴赫猜想的内容其实是这样的：“任何一个大于等于6的偶数，都可以表示成两个奇素数的和；任何一个大于等于9的奇数，都可以表示成三个奇素数的和．”从1742年开始200年过去了，没有人证明它．哥德巴赫猜想由此成为数学皇冠上一颗可望不可及的“明珠”．到了20世纪20年代，才有人开始向它靠

6、近．在此过程中做出重大贡献的是我国数学家陈景润，1966年他证明了“每一个充分大的偶数都能够表示为一个素数及一个不超过两个素数的乘积之和”（简称“1＋2”）．归纳推理的特点：（1）归纳推理的前提是几个已知的特殊现象，归纳所得的结论是尚属未知的一般现象；（2）由归纳推理得到的结论具有猜测的性质，结论是否真实，还需要经过逻辑证明和实践检验．因此他不能作为数学证明的工具．（3）归纳推理是一种具有创造性的推理，通过归纳推理得到的猜想，可以作为进一步研究的起点，班主任们发现问题和提出问题．（四）数学应用例1已知数列{an}的第1项a1＝1，且an＋1＝（n＝1，2，…)，试归纳出这个数列

7、的通项公式．21金陵中学2012-2013学年高二上数学教案解：观察：a1＝1，a2＝，a3＝，a4＝，a5＝，归纳猜想：an＝．证明：因为＝＝1＋，所以数列{}是首项为1，公差是1的等差数列，所以＝1＋(n－1)＝n，即an＝．例2.如图，在圆内画一条线段,将圆分成两部分;画两条线段,彼此最多分割成4条线段，同时将圆分割成4部分；画三条线段,彼此最多分割成9条线段,同时将圆分割成7部分．那么(1)在圆内画四条线段，彼此最多分割成多少条线段?同时将圆分割成多少部分?(2)猜想：圆内两两相交的