向量及向量法

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1、AFEBCDA1B1C1D1例题1：如图，直四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，底面ABCD是等腰梯形，AB∥CD，AB=2AD＝2DC＝2，E为BD1的中点，F为AB的中点.(1)求证：EF∥平面ADD1A1；(2)若BB1＝，求A1F与平面DEF所成角的大小.AFEBCDA1B1C1D1xyzG解析：(1)连结AD1，在△ABD1中，∵E、F分别是BD1、AB的中点，∴EF∥AD1.又EFË平面ADD1A1∴EF∥平面ADD1A1(2)建立如图所示的空间直角坐标系D－xyz(DG是AB边上的高)则有A1()，F(，0)D1(0，0

2、，)，B(，0)∴E()设平面DEF的法向量为＝(x，y，z)则Þ解得y＝－x，z＝x取非零法向量＝(1，－，)∴A1F与平面DEF所成的角即是所成锐角的余角由cos<>＝＝＝－∴A1F与平面DEF所成角的大小为－arccos，即arcsin.点评：立体几何中，二面角问题几乎每年必考，几何法也有很多解决方法，如直接法、垂面法、三垂线法、面积射影法等等，这些方法都离不开严密的逻辑证明.而向量法则以算代证，从一定程度上减轻了对逻辑思维的要求，但也应该注意到，向量法计算较为烦琐，运算量较大，必须小心谨慎，否则也极易出现差错.例题2.如图，在

3、四棱锥E－ABCD中，AB⊥平面BCE，CD⊥平面BCE，AB＝BC＝CE＝2CD＝2,∠BCE＝1200．(1)求证：平面ADE⊥平面ABE；(2)求点C到平面ADE的距离.解:取BE的中点O,连OC.xyzO∵BC＝CE,∴OC⊥BE.又AB⊥平面BCE.以O为原点建立空间直角坐标系O－ｘｙｚ如图，则由已知条件有:,,,(1).设平面ADE的法向量为ｎ=，则由ｎ·及ｎ·可取ｎ又AB⊥平面BCE.∴AB⊥OC.OC⊥平面ABE∴平面ABE的法向量可取为m＝.∵ｎ·m·＝0,∴ｎ⊥m∴平面ADE⊥平面ABE.⑵.点C到平面ADE的距离

4、为AA1B1C1ED1FDCB例题3.如图：在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E、F分别是BB1、CD的中点，棱长AA1＝a.(1)证明：AD⊥D1F；(2)求AE与D1F所成的角；(3)求四面体A1D1EF的体积。解法一：设基底{}∵ABCD－A1B1C1D1是正方体，棱长为a∴＝a且(1)∵＝＝0∴即AD⊥D1F(2)∵cos<＝＝＝0∴<>＝90º也就是AE与D1F所成角为90º.(3)取CC1中点G，因为EG∥平面A1D1F，则四面体A1D1EF的体积等于四面体A1D1GF的体积.即VA1D1EF＝VA1D1FG＝S△D1

5、FG·A1D1＝×a2×a＝a3.解法二：以D为坐标原点，DA、DC、DD1分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系。于是有：D(0，0，0)，A(a，0，0)，D1(0，0，a)，E(a，a，)，F(0，，0)∴＝(0，0，0)－(a，0，0)＝(－a，0，0)＝(0，，0)－(0，0，a)＝(0，，－a)＝(a，a，)－(a，0，0)＝(0，a，)＝(0，，0)－(a，a，)＝(－a，－，－)(1)∵＝(－a，0，0)·(0，，－a)＝0∴即AD⊥D1F(2)∵cos<＝0∴<>＝90º(3)设平面A1D1F的一个法向量为＝(x，y，

6、z)由且＝(a，0，0)∴x＝0由且＝(0，，－a)得y－2z＝0不妨设y＝2，z＝1，则＝(0，2，1)于是面A1D1F上的高为d＝

7、

8、＝＝而S△A1D1F＝A1D1×D1F＝a×a＝a2∴V＝×a2×＝a3.CBAMNP练习.如图，三角形ABC中，点M是BC的中点，点N在边AC上，AN＝2NC，AM与BN相交于点P，求AP:PM的值.解：设，则又设则由得∴Þ∴AP:PM＝4∶1(四)复习建议1.向量部分的复习应该注重向量的工具作用，紧紧围绕数形结合思想，扬长避短，解决问题；2.向量与立体几何的交汇是近年来的考查热点，命题者往往会将

9、试题命制为几何法与向量法都能求解，但我们一定要注意他们各自的优势和弱点：向量法下手容易，思路简单，但相对计算复杂；几何法过程通常较为简洁，但下手有一定的难度，过程中对逻辑思维要求较高.因此，我们不能一见到立体几何问题就一味使用向量法，还是要结合试题本身特点，在几何法与向量法中做出正确的选择；