方向向量和法向量

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1、空间直线的方向向量和平面的法向量一、空间直线的方向向量对于空间任意一条直线l，把与直线l平行的非零向量叫做直线l的一个方向向量。xyzOl1、定义注：1、一条直线l有无穷多个方向向量，这些方向向量之间互相平行。2、直线l的方向向量也是所有与l平行的直线的方向向量。A(x1,y1,z1)B(x2,y2,z2)可根据直线l上的任意两点的坐标写出直线l的一个方向向量。2、方向向量的求法xyzOl均是直线l的方向向量例1、如图所示，已知长方体AC1中，AA1=4，AB=5,BC=3,写出下列直线的一个方向向量。xyzABCDA1B1C1D14

2、53与坐标轴平行或重合的直线的方向向量的坐标有何特征？与坐标平面平行（与坐标轴不平行）的直线的方向向量的坐标有何特征？x,y,z中有两个为0x,y,z中有一个为0例2、已知正四面体P-ABC的棱长为a,试建立合适的空间直角坐标系，并确定各棱所在直线的一个方向向量。DABCPEayxz练习：已知底面边长为1,高为3的正三棱柱,试建立合适的空间直角坐标系，确定三个侧面的面对角线所在直线的一个方向向量。DABCA1B1C113yxz二、平面的法向量1、定义对于非零的空间向量，如果它所在的直线与平面α垂直，那么向量叫做平面α的一个法向量。α注

3、：1、一个平面α有无穷多个法向量，这些法向量之间互相平行。2、一个平面α的法向量也是所有与平面α平行的平面的法向量。2、法向量的求法待定系数法α(1)(设):设出平面法向量的坐标为(2)(列):根据，列出方程组；(3)(解):把u(或v或w)看作常数,用u(或v或w)表示另外两个量(4)(取):取u为任意一个数(当然取得越特殊越好),则得到平面法向量的坐标。例1、已知点A(1,1,2),B(3,3,3),C(5,6,5),求平面ABC的单位法向量。例2、如图所示，已知长方体AC1中，AA1=4，AB=5,BC=3,求下列平面的一个法向

4、量：xyzABCDA1B1C1D1453(1)平面ABCD(2)平面AA1C1C(3)平面A1DC1与坐标轴垂直的平面的法向量的坐标有何特征？练习1：如图所示，在棱长为2的正方体中,E是平面ABCD的中心,求平面EA1D1的法向量。ABCDxyzEx（1，-1，0）（1，1，-2）（1，-2，2）（-1，1，2）练习2:在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E是BB1的中点,求下列平面的一个法向量：(1)平面BDE(2)平面ACE(3)平面DC1E(4)平面A1ECABCDExyz