方向向量与法向量

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1、3.2.1立体几何中的向量方法——方向向量与法向量lAP１．直线的方向向量直线ｌ的向量式方程换句话说,直线上的非零向量叫做直线的方向向量一、方向向量与法向量1．直线的方向向量直线的方向向量是指和这条直线的向量．平行或共线例1:已知长方体ABCD—A’B’C’D’的棱长AB=2,AD=4,AA’=3.建系如图,求下列直线的一个方向向量:(1)AA’;(2)B’C;(3)A’C;(4)DB’.A’B’C’D’ABCD解:A(4,0,3),B(4,2,3),C(0,2,3),xyz243D(0,0,3),A’(4,0,0),B’(4,2,0),C’(0,2,0),D’(0,0,0).例2:已知

2、所有棱长为的正三棱锥A-BCD,试建立空间直角坐标系,确定各棱所在直线的方向向量.ABCDEFxyz(O)解:建系如图,则B(0,0,0)、BEFxyz(O)2、平面的法向量AlP平面α的向量式方程换句话说,与平面垂直的非零向量叫做平面的法向量2．平面的法向量直线l⊥α，取直线l的a，则a叫做平面α的法向量.方向向量oxyzABCO1A1B1C1例1.如图所示,正方体的棱长为1直线OA的一个方向向量坐标为___________平面OABC的一个法向量坐标为___________平面AB1C的一个法向量坐标为___________(-1,-1,1)(0,0,1)(1,0,0)如何刻画平面的

3、方向？二、平面的法向量：例3：长方体中，求下列平面的一个法向量：（1）平面ABCD;(2)平面ACC’A’;(3)平面ACD’.xyzABCDA’B’C’D’234xyzABCDA’B’C’D’234xyzABCDA’B’C’D’234求平面向量的法向量因为方向向量与法向量可以确定直线和平面的位置，所以我们可以利用直线的方向向量与平面的法向量表示空间直线、平面间的平行、垂直、夹角、距离等位置关系.用向量方法解决立体问题二、　立体几何中的向量方法——证明平行与垂直ml（一）.平行关系：ααβ（二）、垂直关系：lmlABCαβ四、平行关系：五、垂直关系：例1四棱锥P-ABCD中，底面ABCD

4、是正方形,PD⊥底面ABCD，PD=DC=6,E是PB的中点，DF:FB=CG:GP=1:2.求证：AE//FG.ABCDPGXYZFEA(6,0,0),F(2,2,0),E(3,3,3),G(0,4,2),AE//FG证：如图所示,建立空间直角坐标系.//几何法呢？例3四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，PD⊥底面ABCD，PD=DC,E是PC的中点，(1)求证：PA//平面EDB.ABCDPEXYZG法1几何法ABCDPEXYZG法2：如图所示建立空间直角坐标系，点D为坐标原点，设DC=1(1)证明：连结AC,AC交BD于点G,连结EGABCDPEXYZ法3：如图所示建立空间

5、直角坐标系，点D为坐标原点，设DC=1(1)证明：设平面EDB的法向量为XYZABCDPE法4：如图所示建立空间直角坐标系，点D为坐标原点，设DC=1(1)证明：解得x＝－２,ｙ＝１A1xD1B1ADBCC1yzEF是BB1,，CD中点，求证：D1F例2正方体中，E、F分别平面ADE.证明：设正方体棱长为1，为单位正交基底，建立如图所示坐标系D-xyz，所以A1xD1B1ADBCC1yzEF,E是AA1中点，例3正方体平面C1BD.证明：E求证：平面EBD设正方体棱长为2,建立如图所示坐标系平面C1BD的一个法向量是E(0,0,1)D(0,2,0)B(2,0,0)设平面EBD的一个法向量

6、是平面C1BD.平面EBDxyz期中22．如图，四棱锥S—ABCD的底面是正方形，每条侧棱的长都是底面边长的倍，P为侧棱SD上的点．(2)若SD⊥平面PAC，求二面角P—AC—D的大小；(3)在(2)的条件下，侧棱SC上是否存在一点E，使得BE∥平面PAC.若存在，求SE∶EC的值xyzE课后作业EABCDF