316直线方向向量与平面法向量

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1、3.16直线的方向向量与平面的法向量一、教学目标：1．理解直线的方向向量和平面的法向量；2．会用待定系数法求平面的法向量。教学重点：直线的方向向量和平面的法向量教学难点：求平面的法向量二、教学过程（一）、创设情景1、平面坐标系中直线的倾斜角及斜率，直线的方向向量，直线平行与垂直的判定；2、如何用向量描述空间的两条直线、直线和平面、平面和平面的位置关系？（二）、建构数学1、直线的方向向量我们把直线上的向量以及与共线的向量叫做直线的方向向量。2、平面的法向量如果表示向量的有向线段所在直线垂直于平面α，则称这个向量垂直于平面α，记作，如果，那么向

2、量叫做平面α的法向量。3、（坐标系中平面的法向量）求法步骤：①在适当坐标系下，设法向量为；②求出平面内两个不共线向量的坐标，；，③由定义建立方程组：且④解方程组，取其中一个解得法向量为。4、用向量证明空间空间平行的方法。①线面平行：记l的方向向量为，的法向量为，则要证，只要，即（又分基向量法和坐标向量法两种）。②面面平行：求出平面、的法向量、，证明//。（三）、数学运用例1已知平面经过三点，，，求平面的一个法向量。解：，，记法向量为，则且解得：，平面的一个法向量为。例2在正方体中，求证：是平面的法向量.证：设正方体棱长为1，以为单位正交基底

3、，建立如图所示空间坐标系，，，，所以同理，所以平面从而是平面的法向量。例3如图正方体中，M为BD中点，求证：//平面证明：建系，设边长为1，则：，，设平面的法向量为，则，令x=1解得：y=1,z=-1。又,//平面练习：（江西2007高考题）如图是一个直三棱柱被一平面截取得到的几何体，截面为ABC，G为AB中点；已知：，，，，求证：。证明：以B1为原点，为X轴，为Y轴，建系。则，，，又G是AB中点，有，，易知是平面的法向量；因为，，GC不在平面，所以，。例4在如上图底面为菱形的的四棱锥中，，平面ABC，，，点E在上，且，求证：平面。证明：以

4、A为原点，以AB为x轴，以AD为y轴建系；，，，，，，设平面ACE的法向量为，则：且令有，，又，因此，平面例5在空间直角坐标系内，设平面经过点，平面的法向量为，为平面内任意一点，求满足的关系式。解：由题意可得，即化简得(四)、课堂练习已知点是平行四边形所在平面外一点，如果，，（1）求证：是平面的法向量；（2）求平行四边形的面积．（1）证明：∵，，∴，，又，平面，∴是平面的法向量．（2），，∴，∴，∴，∴．(五)、回顾小结：1、直线得方向向量与平面法向量得概念；2、求平面法向量方法；3、证明空间平行的方法.(六)、布置作业