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1、第7课时 直线的方向向量与平面的法向量 教学过程一、问题情境为了用向量来研究空间的线面位置关系,首先我们要用向量来表示直线和平面的“方向”.如何用向量来刻画直线和平面的“方向”呢?二、数学建构问题1 过一点沿着确定的方向就可以画出一条直线,在《平面解析几何初步》中如何用数学语言刻画直线的方向的?解 直线的倾斜角、直线的斜率,并用直线的倾斜角和斜率研究了两条直线平行和垂直关系.问题2 必修4《平面向量》这一章中是用什么数学语言刻画直线的方向的?解 直线的方向向量,并用直线的方向向量研究了两条直线平行和垂直关系.直线l的方向向量:我们把直线l上的向量e(e≠0)以及与
2、e共线的非零向量叫做直线l的方向向量.问题3 平面有“方向”吗?通过展示平面的不同位置,使学生通过观察知道平面也有“方向”.问题4 如何用向量来刻画平面的“方向”?通过模型观察、类比研究、共同讨论寻找出“平面的法向量”来刻画平面的方向.活动1 类比直线的方向向量,与平面平行的直线的方向向量行吗?观察发现不行,方向不确定.活动2 与平面垂直的直线的方向向量行吗?解 行,根据线面垂直关系,面的垂线方向确定,面的“方向”就确定.平面α的法向量:如果表示非零向量n的有向线段所在直线垂直于平面α,那么称向量n垂直于平面α,记作n⊥α.此时,我们把向量n叫做平面α的法向量.概
3、念理解与平面垂直的直线叫做平面的法线,因此,平面的法向量就是平面法线的方向向量.三、数学运用【例1】 (教材第99页例1)在正方体ABCD-A1B1C1D1中,求证:是平面ACD1的法向量.[3](见学生用书P61)[处理建议] 可用向量数量积的定义证明与平面ACD1中两个不共线向量分别垂直;也可用待定系数法求出平面ACD1的法向量,再证明与此向量共线.[规范板书] 证法一 不妨设正方体的棱长为1,以{,,}为单位正交基底,建立如图所示的空间直角坐标系D-xyz,则A(1,0,0),C(0,1,0),D1(0,0,1),B1(1,1,1),(例1) 所以=(1,
4、1,1),=(-1,1,0),=(-1,0,1).因为·=1×(-1)+1×1+1×0=0,所以⊥.同理⊥.又AC∩AD1=A,所以DB1⊥平面ACD1,从而是平面ACD1的法向量.证法二 设平面ACD1的一个法向量为a=(x,y,z),则a⊥a⊥,从而a·=0,a·=0.因为=(-1,1,0),=(-1,0,1),所以即解得不妨取y=z=x=1,所以a=(1,1,1)就是平面ACD1的一个法向量.而=(1,1,1),故∥a,所以是平面ACD1的法向量.[题后反思] (1)在正方体ABCD-A1B1C1D1中,⊥平面ACD1是一个重要的结论,以前用综合法证明,这里
5、用向量坐标法证明,可让学生分析比较各自的优点,以便今后灵活运用.(2)求平面的法向量,先找是否有与平面垂直的直线;若没有,再用待定系数法.变式 已知四边形ABCD是直角梯形,∠ABC=90°,SA⊥平面ABCD,SA=AB=BC=1,AD=,求平面SCD的一个法向量.[规范板书] 解 以A为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系A-xyz,则D,C(1,1,0),S(0,0,1),所以=(1,1,-1),=.(变式) 设平面SCD的一个法向量为n=(x,y,z),则n·=0,n·=0,所以解得令y=1,则x=-2,z=-1,所以n=(-2,1,-1)是平面SCD
6、的一个法向量.[题后反思] 求平面的法向量通常用待定系数法,由于两个三元一次方程组成的方程组的解不唯一,为方便起见,需合理取值,平面的法向量不唯一.【例2】 已知A(2,2,2),B(2,0,0),C(0,2,-2).(1)写出直线BC的一个方向向量;(2)设平面α经过点A,且是平面α的法向量,M(x,y,z)是平面α内任意一点,试写出x,y,z满足的关系式.(见学生用书P62)[处理建议] 先明确直线的方向向量和平面的法向量的定义,再由平面的法向量的定义得出线线垂直,从而确定x,y,z满足的关系式.[规范板书] 解 (1)∵B(2,0,0),C(0,2,-2),
7、∴=(-2,2,-2),即=(-2,2,-2)为直线BC的一个方向向量.(2)∵A(2,2,2),M(x,y,z,),∴=(x-2,y-2,z-2).∵⊥α,AM⊂α,∴⊥,∴(-2,2,-2)·(x-2,y-2,z-2)=0,化简得x-y+z-2=0.[题后反思] (1)在空间直角坐标系中,平面可以用关于x,y,z的三元一次方程来表示.(2)已知直线上一点和直线的方向向量,那么这条直线就唯一确定了.已知平面内一点和平面的法向量,那么这个平面是否唯一确定?(因为过一点有且只有一个平面与已知直线垂直,所以,已知平面内一点和平面的法向量,这个平面是唯一确定的)四、课堂
8、练习(第1
