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1、直线的方向向量与平面的法向量【问题导思】 图3－2－11．如图3－2－1，直线l∥m，在直线l上取两点A、B，在直线m上取两点C、D，向量与有怎样的关系？【提示】 ∥.2．如图直线l⊥平面α，直线l∥m，在直线m上取向量n，则向量n与平面α有怎样的关系？【提示】 n⊥α. 直线的方向向量是指和这条直线平行或共线的非零向量，一条直线的方向向量有无数个．直线l⊥α，取直线l的方向向量a，则向量a叫做平面α的法向量.空间中平行关系的向量表示线线平行设两条不重合的直线l，m的方向向量分别为a＝(a1，b1，c
2、1)，b＝(a2，b2，c2)，则l∥m⇒a∥b⇔(a1，b1，c1)＝k(a2，b2，c2)线面平行设l的方向向量为a＝(a1，b1，c1)，α的法向量为u＝(a2，b2，c2)，则l∥α⇔a·u＝0⇔a1a2＋b1b2＋c1c2＝0面面平行设α，β的法向量分别为u＝(a1，b1，c1)，v＝(a2，b2，c2)，则α∥β⇔u∥v⇔(a1，b1，c1)＝k(a2，b2，c2)求平面的法向量图3－2－2 已知ABCD是直角梯形，∠ABC＝90°，SA⊥平面ABCD，SA＝AB＝BC＝1，AD＝，试建立
3、适当的坐标系．(1)求平面ABCD与平面SAB的一个法向量．(2)求平面SCD的一个法向量．【自主解答】 以点A为原点，AD、AB、AS所在的直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的坐标系，则A(0,0,0)，B(0,1,0)，C(1,1,0)，D(，0,0)，S(0,0,1)．(1)∵SA⊥平面ABCD，∴＝(0,0,1)是平面ABCD的一个法向量．∵AD⊥AB，AD⊥SA，∴AD⊥平面SAB，∴＝(，0,0)是平面SAB的一个法向量．(2)在平面SCD中，＝(，1,0)，＝(1,1，－1)．设平
4、面SCD的法向量是n＝(x，y，z)，则n⊥，n⊥.所以得方程组∴令y＝－1得x＝2，z＝1，∴n＝(2，－1,1)．1．若一个几何体中存在线面垂直关系，则平面的垂线的方向向量即为平面的法向量．2．一般情况下，使用待定系数法求平面的法向量，步骤如下：(1)设出平面的法向量为n＝(x，y，z)．(2)找出(求出)平面内的两个不共线的向量a＝(a1，b1，c1)，b＝(a2，b2，c2)．(3)根据法向量的定义建立关于x，y，z的方程组(4)解方程组，取其中的一个解，即得法向量．3．在利用上述步骤求解平面
5、的法向量时，方程组有无数多个解，只需给x，y，z中的一个变量赋于一个值，即可确定平面的一个法向量；赋的值不同，所求平面的法向量就不同，但它们是共线向量． 正方体ABCD－A1B1C1D1中，E、F分别为棱A1D1、A1B1的中点，在如图3－2－3所示的空间直角坐标系中，求：图3－2－3(1)平面BDD1B1的一个法向量．(2)平面BDEF的一个法向量．【解】 设正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为2，则D(0,0,0)，B(2,2,0)，A(2,0,0)，C(0,2,0)，E(1,0,2)(1)连
6、AC，因为AC⊥平面BDD1B1，所以＝(－2,2,0)为平面BDD1B1的一个法向量．(2)＝(2,2,0)，＝(1,0,2)．设平面BDEF的一个法向量为n＝(x，y，z)．∴ ∴ ∴令x＝2得y＝－2，z＝－1.∴n＝(2，－2,1)即为平面BDEF的一个法向量. 长方体ABCD－A1B1C1D1中，E、F分别是面对角线B1D1，A1B上的点，且D1E＝2EB1，BF＝2FA1.求证：EF∥AC1.【自主解答】 如图所示，分别以DA，DC，DD1所在的直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，设
7、DA＝a，DC＝b，DD1＝c，则得下列各点的坐标：A(a,0,0)，C1(0，b，c)，E(a，b，c)，F(a，，c)．∴＝(－，，)，＝(－a，b，c)，∴＝.又FE与AC1不共线，∴直线EF∥AC1.利用向量法证明线线平行的方法与步骤：图3－2－4 如图3－2－4所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E、F分别为DD1和BB1的中点．求证：四边形AEC1F是平行四边形．【证明】 以点D为坐标原点，分别以，，为正交基底建立空间直角坐标系，不妨设正方体的棱长为1，则A(1,0,0)，E(0,
8、0，)，C1(0,1,1)，F(1,1，)，∴＝(－1,0，)，＝(－1，0，)，＝(0,1，)，＝(0,1，)，∴＝，＝，∴∥，∥，又∵F∉AE，F∉EC1，∴AE∥FC1，EC1∥AF，∴四边形AEC1F是平行四边形.利用空间向量证明线面平行图3－2－5 如图3－2－5，在正三棱柱ABC－A1B1C1中，D是AC的中点，求证：AB1∥平面DBC1.【自主解答】 以A为坐标原点建立空间直角坐标系．设正三棱柱的底面边长为a(a>0)，侧棱长为b(b>0)
