走在直观和抽象之间

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1、走在直观与抽象之间在《新数学读本》一上第90页，有这样一组题：预设的解法：（1）代入。把红花=2代入原式，左边2+3=5，右边黄花—3=5。3+5=8，所以黄花=8（2）根据移多补少，找到红花与黄花的相差量是6，得到红花+6=黄花，再用这个关系来解题。实际实施中发现，学生对这两种方法都觉得很难理解。方法（1）：不会代入。孩子们知道现在红花表示2，但并不认为上面算式中的红花就可以是2。方法（2）具体实施过程：一、初步探究，发现规律：1．出示两行磁铁，第一行8个，第2行6个，问：如果要使两行磁铁的个数一样多，

2、你有什么好办法？请学生来移一移。根据移法板书：上行—1=下行+1上行—下行=22．第二行拿走两个，成4个，问：现在要使两行磁铁一样多，谁会移？根据移法板书：上行—2=下行+2上行—下行=43．移一移，填一填。（1）○○○○○○○○△△○—（）=△+（）○—△=（）（2）○○○○□□□□□□□□○+（）=□—（）○+（）=□（1）□□□★★★★★★★★★□+（）=★—（）□+（）=★4．观察：你发现了什么？得出从多的那部分中移出一半给少的，就可以一样多。（根据图移一移，孩子们能发现要使两部分一样多，只要从

3、多的那部分中移一半就行了，但转化成用算式来表示，尤其是第二个算式，还是有一定的困难。）5．用发现的规律填一填。□+2=★—2★+4=△—4★—5=■+5★—□=（）△—★=（）★—■=（）一、尝试应用，解决问题。结合上面的第一题，增加条件：如果□=1，★=（）；如果□=2，★=（）；如果□=5，★=（）；学生已经发现了两个量之间的相差量可以怎样计算，但却不知道有什么用，可以怎样运用。所以当要解决这样的问题时，还是有一定的困难。问题：这部分知识如果是一个具体的情境（如教学的第一环节，让学生实际操作），孩子们

4、觉得没有困难。但当抽象到用算式来表示两者之间的关系时，孩子们还是觉得很难理解。这部分知识如何进行教学更利于学生理解？希望得到大家的指点。【吴玉兰】这是一个差值等分的问题。这一类问题有多方面的教学价值，从学习内容本身来说，可以训练学生的代数思维，如吴老师提到的“孩子们知道现在红花表示2，但并不认为上面算式中的红花就可以是2”就是代数思维训练需要突破的瓶颈，也是用代入法（或尝试法）解决问题的重要基础。从思想方法的角度，教学的过程就是一个数学发现数量关系（数学建模）的过程，吴老师对于方法2的具体实施过程的设计，

5、也很好地说明了这一点。笔者的想法是，学生如果不会用代入法，应当回到前面的教学中去寻找原因，如★+▲＝10，▲－●＝3,分别求★、▲和●代表的数（见同册教材第87页）。不过对于这问题来说，代入法的教学也是有很多层次的，如有的学生只看一个算式，随便想一个图形代表的数试一试，有的学生则可能关照两个算式，对于图形的取值范围有一个大致的判断，如▲代表的数比3大，比10小。当然，这不能作为教学的一般要求，但老师要留给学生足够的思考时间。如前所述，对于学生的学习与理解来说，重要的是经历探索发现数量关系的过程。而这个关系

6、本质上与相差数最为密切，即相差数的一半是移动的个数。因此，我认为在前面的操作活动当中，可以通过列表，把大数、小数、相差数、移动的个数在表格中清晰的展现出来，而且从直观操作到计算思考逐步过渡，如前面的几个例子都是通过可以看得见的直观，后面可以让学生直接根据表格中的大数与小数两个已知数据，通过计算来思考。移一移，填一填事实上是变式，可以把后面要学生填空的两个算式调换位置，帮助学生建立这样的观念，即首先应当关注相差数是多少，排除大数、小数等实际数量对于学生发现规律的干扰。笔者分析，学生解决后面的问题感到困难，主

7、要的原因可能是不能在前后的学习中建立联系。就上面的教学设计来说，把发现规律、对规律的初步应用与解决问题分成教学的三个阶段，教学的层次是十分清晰的，但也给学生理解知识的联系，迁移运用方法带来了直接的困难。依我的粗浅看法，可以尝试在前面的操作列表（列表是解决问题的一种重要策略，特别是当需要发现数学关系的时候，这样的方法通常比较管用）活动当中，就可以用算式表征出来，如大数、小数、相差数，移动数分别为10、6、4、2,就可写成10－2＝6+2.然后给出类似的算式，要求学生把数据填回到表格当中去，或者把一些已知数据

8、转化为隐含的条件，推进学生的思考。如已知大数是12,移动数是2,你知道了什么？移动数是3呢？如此等等。如果问题变成相差数是2,小数是1,那么就是解决问题的第1题了。总之，如果前面的直观操作不只指向于得到一个结论，而且呈现多种表征的方式并强调逆向的思考，那么后面的难题学生就不会陌生了。对于这个问题的思考与讨论，对于我自己的提示在于，教学设计中强调教学层次清晰的同时，也要思考可能由此带来的学生对知识的联系与沟通的困难。【姜荣富】