集合与命题、不等式、函数部分结构性习题

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1、集合与命题部分结构性习题1.若集合是集合的真子集，其意义为.2．请用描述法表示、、.3.若命题成立，可以推出命题也成立，那么，叫做的；叫做的.不等式部分必须搞懂的结构性问题问题1：不等式的基本性质有哪些？推导它们的基本依据是什么？【答】教材中有8条性质（第31页边框中）。推导它们的基本依据是关于不等关系的基本事实：；；.这也是比较法的依据。要求学生用比较法证明基本性质1—6，用函数的单调性解释基本性质7，用反证法证明基本性质8（教材例题）.问题2：一元二次不等式、一元二次方程、二次函数之间有何联系？【答】我

2、们以一元二次不等式和为例，说明一元二次不等式、一元二次方程、一元二次函数之间的内在联系．yy二次函数的图像xOOxOxy一元二次方程的根有两个相异实根有两个相等实根没有实根的解集R的解集同学们可类似的写出一元二次不等式和的解集．实际上，将不等式两端同乘以，即可将问题转化为上表中的问题．问题3：解分式不等式、含有绝对值的不等式、简单的指数不等式和对数不等式的思想方法是什么？【答】解这些不等式的思想方法是转化，即利用同解变形法则将其转化为解整式不等式（组）的问题．如解不等式，利用同解变形法则可将问题转化为解不等

3、式组注意:对数的真数大于零,否则不是同解变形.问题4：基本不等式1是基于那个基本事实？基本不等式2是如何推导出的？【答】基本不等式1是基于基本事实：，当且仅当时等号成立。让学生在推导基本不等式2的过程中感受变量替换的思想。问题5：在运用基本不等式解决数学问题时应注意什么？【答】（1）基本不等式是对某个确定范围内一切数值恒成立的不等式，也称恒不等式，在运用基本不等式1和基本不等式2解决数学问题时，首先要明确它们成立的条件不同.基本不等式1只要求、都是实数，而基本不等式2要求、都是正实数，若忽略这一点常常会犯错

4、.如见到形如的代数式，就断定是不对的.（2）基本不等式1和基本不等式2中都有“当且仅当时等号成立”，这意味着，在运用它们解决数学问题时，等号是否成立常常需要验证.如：求函数的最小值时，利用基本不等式2得到，从而得到该函数的最小值为2是错误的.事实上，由于方程无实数根，即对任意的实数，都有，所以，2不是该函数的最小值.在运用基本不等式解决实际应用问题中的最值问题时，尤其要验证等号是否成立.（3）在运用基本不等式解决有关含有两个变量的代数式的最大值或最小值问题时，通常要求代数式中的两个变量的和或积为定值，即，“

5、和为定值，积有最大值”，“积为定值，有和最小值”.用函数的观点来解释就是：当代数式中的两个变量的和或积为定值时，问题就可以转化为函数（一个变量）的最值问题.【不等式部分结构性习题】1．我们知道，不等关系有以下基本事实：；；.请你按照教材中的顺序写出不等式的基本性质，并以基本事实为依据证明其中的三个基本性质.2．求证：（1）若，，则；（2）若，则；（3）若，则.提示：（1）（2）用数学归纳法；（3）方法1：反证法；方法2：利用幂函数的单调性．3．请你叙述并证明基本不等式1和基本不等式2，并解释其几何意义.4．

6、求证：（1）在周长相等的矩形中，正方形的面积最大；（2）在面积相等的矩形中，正方形的周长最小.函数部分必须搞懂的结构性问题问题1：研究函数的基本程序是什么？【答】定义画出图像观察图像得出基本性质证明基本性质问题2：函数的基本性质指的是什么？它们代数定义和几何意义是怎样的？【答】函数的基本性质指：奇偶性、单调性、单调性、最大（小）值、零点．要求学生会表述定义和几何意义．问题3：幂函数、指数函数、对数函数、三角函数与反三角函数是怎样定义的？它们的的图像与基本性质如何？【答】要求学生会表述这些函数的定义，并联系图

7、像表述基本性质．【函数部分结构性习题】1．我们知道，奇函数的定义是对图像关于坐标原点对称的函数的代数表示．若定义域为函数的图像关于点对称，则具有该几何性质的函数的代数表示为．答：对定义域内任意的，都有或．普通中学可改为：1．我们知道，奇函数的定义是对图像关于坐标原点对称的函数的代数表示．若定义域为函数的图像关于点对称，则具有该几何性质的函数的代数表示为．答：对定义域内任意的，都有或．2．证明：若偶函数在区间上是单调递减函数，则在区间上是单调递增函数．提示：要求用偶函数和单调递增函数的定义证明．3．证明：闭区

8、间上的单调递增函数必有最大值和最小值．证：因为在闭区间上是单调递增函数，所以，对任意的，即，有，又，由函数最大值和最小值的定义，得和分别是函数的最大值和最小值．4．已知幂函数．（教材第80页）（1）求证：在上是减函数；（2）判断并证明与的大小关系．5．我们知道，指数函数有下列性质：性质1：指数函数的函数值恒大于零；性质2：的图像横过点；对于，当时，；当时；对于，当时，；当时；请运用以上性质研究指数函数的单调性．6