第五章一元函数积分学

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1、第五章　一元函数积分学【字体：大中小】【打印】5.1　原函数和不定积分的概念　　　　一、原函数与不定积分的概念　　定义：如果在区间I内，存在可导函数F（x）使都有F＇（x）=f（x）或dF（x）=f（x）dx，那么函数F（x）就称为f（x）在区间I内原函数。　　例：，sinx是cosx的原函数。　　　　Lnx是在区间（0，+∞）内的原函数。　　原函数存在定理：　　如果函数f（x）在区间I内连续，那么在区间I内存在可导函数F（x），使，都有F＇（x）=f（x）。　　简言之：连续函数一定有原函数。　　问题：（1）原函数是否唯一？　　（2）若不唯一它们之间有什么联系

2、？　　例：（sinx）＇=cosx　（sinx+C）＇=cosx　　（C为任意常数）　　关于原函数的说明：　　（1）若F＇（x）=f（x），则对于任意常数C，F（x）+C都是f（x）的原函数。　　（2）若F（x）和G（x）都是f（x）的原函数，则F（x）-G（x）=C（C为任意常数）　　证∵[F（x）-G（x）]＇=F＇（x）-G＇（x）　　=f（x）=f（x）=0　　∴F（x）-G（x）=C（C为任意常数）　　不定积分的定义：　　函数f（x）的全体原函数的集合称f（x）的不定积分，记为∫f（x）dx。　　,其中∫为“积分号”，f（x）为被积函数，f（x）dx

3、为被积表达式，C为任意常数。　　例：求。　　【答疑编号11050101：针对该题提问】　　解：　　例：求。　　【答疑编号11050102：针对该题提问】　　解：　　　　积分曲线　　例设曲线通过点（1，2），且其上任一点处的切线斜率等于这点横坐标的两倍，求此曲线方程。　　【答疑编号11050103：针对该题提问】　　解：设曲线方程为y=f（x）,　　根据题意知　　即f（x）是2x的一个原函数。　　　　由曲线通过点（1，2）　　所求曲线方程为y=x2+1。　　函数f（x）的原函数的图形称为f（x）的积分曲线。显然，求不定积分得到一积分曲线族。　　不定积分的性质　　

4、　　　　结论：微分运算与求不定积分的运算是互逆的。5.2　基本积分公式　　实例　　启示能否根据求导公式得出积分公式？　　结论既然积分运算和微分运算是互逆的，因此可以根据求导公式得出积分公式。　　基本积分表　　（1）；　　（2）；　　（3）；　　说明：　　　　　　简写为　　（4）；　　（5）；　　（6）；　　（7）；　　（8）；　　（9）；　　（10）；　　（11）；　　（12）；　　（13）；　　例：求积分　　【答疑编号11050104：针对该题提问】　　解：　　根据积分公式（2）　　　　不定积分的性质　　（1）；　　证　　。　　∴等式成立。　　（此性质可推广

5、到有限多个函数之和的情况）　　（2）（k是常数，k≠0）　　例：求积分。　　【答疑编号11050201：针对该题提问】　　解：　　　　　　例：求积分。　　【答疑编号11050202：针对该题提问】　　解：　　　　。　　例：。　　【答疑编号11050203：针对该题提问】　　解：　　　　。　　例：；　　【答疑编号11050204：针对该题提问】　　例：已知f（x）之一原函数为sin3x，求∫f＇（x）dx。　　【答疑编号11050205：针对该题提问】　　【答疑编号11050206：针对该题提问】　　例：求。　　【答疑编号11050207：针对该题提问】　　例：

6、　　【答疑编号11050208：针对该题提问】　　例：设，求f（x）。　　【答疑编号11050209：针对该题提问】　　例：。　　【答疑编号11050210：针对该题提问】　　例：；　　【答疑编号11050211：针对该题提问】　　例：　　【答疑编号11050212：针对该题提问】　　例：。　　【答疑编号11050213：针对该题提问】　　解：　　例：设，且f（0）=1，求f（x）.　　【答疑编号11050214：针对该题提问】　　解：因为，若设u=ex，则f＇（u）=1+u3　　所以f（x）是1+x3的一个原函数，而　　。　　故。又f（0）=1，从而C=1。

7、因此　　　　例：；　　【答疑编号11050215：针对该题提问】　　例：。　　【答疑编号11050216：针对该题提问】　　例：。　　【答疑编号11050217：针对该题提问】　　例：。　　【答疑编号11050218：针对该题提问】　　例：求积分。　　【答疑编号11050219：针对该题提问】　　解：　　　　说明：以上几例中的被积函数都需要进行恒等变形，才能使用基本积分表。　　　　四、小结　　原函数的概念：F＇（x）=f（x）　　不定积分的概念：　　基本积分表（1）　　求微分与求积分的互逆关系　　不定积分的性质5.3　换元积分法　　　　一、第一类换元法　　问题

8、　　　解决方法　利用复合函数，设置中间