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时间:2018-09-25
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1、第五章 一元函数积分学【字体:大中小】【打印】5.1 原函数和不定积分的概念 一、原函数与不定积分的概念 定义:如果在区间I内,存在可导函数F(x)使都有F'(x)=f(x)或dF(x)=f(x)dx,那么函数F(x)就称为f(x)在区间I内原函数。 例:,sinx是cosx的原函数。 Lnx是在区间(0,+∞)内的原函数。 原函数存在定理: 如果函数f(x)在区间I内连续,那么在区间I内存在可导函数F(x),使,都有F'(x)=f(x)。 简言之:连续函数一定有原函数。 问题:(1)原函数是否唯一? (2)若不唯一它们之间有什么联系
2、? 例:(sinx)'=cosx (sinx+C)'=cosx (C为任意常数) 关于原函数的说明: (1)若F'(x)=f(x),则对于任意常数C,F(x)+C都是f(x)的原函数。 (2)若F(x)和G(x)都是f(x)的原函数,则F(x)-G(x)=C(C为任意常数) 证∵[F(x)-G(x)]'=F'(x)-G'(x) =f(x)=f(x)=0 ∴F(x)-G(x)=C(C为任意常数) 不定积分的定义: 函数f(x)的全体原函数的集合称f(x)的不定积分,记为∫f(x)dx。 ,其中∫为“积分号”,f(x)为被积函数,f(x)dx
3、为被积表达式,C为任意常数。 例:求。 【答疑编号11050101:针对该题提问】 解: 例:求。 【答疑编号11050102:针对该题提问】 解: 积分曲线 例设曲线通过点(1,2),且其上任一点处的切线斜率等于这点横坐标的两倍,求此曲线方程。 【答疑编号11050103:针对该题提问】 解:设曲线方程为y=f(x), 根据题意知 即f(x)是2x的一个原函数。 由曲线通过点(1,2) 所求曲线方程为y=x2+1。 函数f(x)的原函数的图形称为f(x)的积分曲线。显然,求不定积分得到一积分曲线族。 不定积分的性质
4、 结论:微分运算与求不定积分的运算是互逆的。5.2 基本积分公式 实例 启示能否根据求导公式得出积分公式? 结论既然积分运算和微分运算是互逆的,因此可以根据求导公式得出积分公式。 基本积分表 (1); (2); (3); 说明: 简写为 (4); (5); (6); (7); (8); (9); (10); (11); (12); (13); 例:求积分 【答疑编号11050104:针对该题提问】 解: 根据积分公式(2) 不定积分的性质 (1); 证 。 ∴等式成立。 (此性质可推广
5、到有限多个函数之和的情况) (2)(k是常数,k≠0) 例:求积分。 【答疑编号11050201:针对该题提问】 解: 例:求积分。 【答疑编号11050202:针对该题提问】 解: 。 例:。 【答疑编号11050203:针对该题提问】 解: 。 例:; 【答疑编号11050204:针对该题提问】 例:已知f(x)之一原函数为sin3x,求∫f'(x)dx。 【答疑编号11050205:针对该题提问】 【答疑编号11050206:针对该题提问】 例:求。 【答疑编号11050207:针对该题提问】 例:
6、 【答疑编号11050208:针对该题提问】 例:设,求f(x)。 【答疑编号11050209:针对该题提问】 例:。 【答疑编号11050210:针对该题提问】 例:; 【答疑编号11050211:针对该题提问】 例: 【答疑编号11050212:针对该题提问】 例:。 【答疑编号11050213:针对该题提问】 解: 例:设,且f(0)=1,求f(x). 【答疑编号11050214:针对该题提问】 解:因为,若设u=ex,则f'(u)=1+u3 所以f(x)是1+x3的一个原函数,而 。 故。又f(0)=1,从而C=1。
7、因此 例:; 【答疑编号11050215:针对该题提问】 例:。 【答疑编号11050216:针对该题提问】 例:。 【答疑编号11050217:针对该题提问】 例:。 【答疑编号11050218:针对该题提问】 例:求积分。 【答疑编号11050219:针对该题提问】 解: 说明:以上几例中的被积函数都需要进行恒等变形,才能使用基本积分表。 四、小结 原函数的概念:F'(x)=f(x) 不定积分的概念: 基本积分表(1) 求微分与求积分的互逆关系 不定积分的性质5.3 换元积分法 一、第一类换元法 问题
8、 解决方法 利用复合函数,设置中间
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