第五章一元函数积分学

《第五章一元函数积分学》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。

1、第五章　一元函数积分学本章前半部分介绍不定积分的概念及其计算方法，然后简单介绍微分方程的基本概念以及利用不定积分方法求解两类简单微分方程；后半部分介绍定积分的概念、计算方法，以及定积分在几何和物理的应用。本章内容占全出考试内容25%。重点是不定积分和定积分计算，难点是换元法，分部积分。　　5.1原函数与不定积分的概念　　一、原函数与不定积分　　定义5.1设f(x)是定义在区间I上的一个函数。如果F(x)是区间I上的可导函数，并且对任意的均有或Df(x)=f(x)dx则称F(x)是f(x)在区间I上的一个原函数。　　例如，因为对任意的均有，所以sinx是co

2、sx在区间（-∞，+∞）内的一个原函数。　　因为对任意的均有，所以arcsinx是在（-1，1）内的一个原函数。　　显然，一个函数的原函数不是唯一的。事实上，如果F(x)是f(x)在区间I上的一个原函数，即，那么，对任意常数C，均有，从而F(x)+C也是f(x)在区间I上的原函数。这说明，如果函数f(x)在区间I上有一个原函数，那么f(x)在I上有无穷多个原函数。另一方面，如果函数F(x)和G(x)都是函数f(x)在区间I上的原函数，那么，从而G(x)-F(x)=C，即G(x)=F(x)+C，其中C为某个常数。因此，如果函数f(x)在区间I上有一个原函数F

3、(x)，那么f(x)在区间I上的全体原函数组成的集合为函数族。　　定义5.2如果函数f(x)在区间I上有原函数，那么称f(x)在I上的全体原函数组成的函数族为函数f(x)在区间I上的不定积分，记为，其中记号称为积分号，f(x)称为被积函数，f(x)dx称为被积表达式，x称为积分变量。　　由定义以及前面的说明知，如果F(x)是f(x)在区间I上的一个原函数，那么，其中C为任意常数，例如，　　，。　　一个函数要具备什么条件，才能保证它的原函数一定存在呢？关于这个问题，我们有如下结论，（证明略去）　　定理5.1（原函数存在定理）如果函数f(x)在区间I上连续，那

4、么f(x)在区间I上一定有原函数，即一定存在区间I上的可导函数F(x)，使得。　　简单地说就是：连续函数必有原函数。由于初等函数在其定义区间上连续，所以初等函数在其定义区间上一定有原函数。　　怎样求一个连续函数的原函数或不定积分呢？后面几节讨论这个问题。下面仅给出一些简单函数的不定积分的例子。　　例1：求不定积分。　　[答疑编号10050101：针对该题提问]　　解：因为，所以为函数xa的一个原函数。故。　　例2：求不定积分。　　[答疑编号10050102：针对该题提问]　　解：当x>0时，；　　当x<0时，。　　所以是函数在上的一个原函数，从而　　不定积

5、分有下而两条性质　　　　∴性质一或　　性质二或　　例3：设曲线通过点（1，0），且曲线上任一点处的切线斜率等于该点横坐标的两倍。试求此曲线的方程。　　[答疑编号10050103：针对该题提问]　　解：（1）设曲线方程为y=f(x)，则由已知，曲线在点(x,f(x))处的斜率为　　　　　　∴曲线方程为y=x2+C　　（2）∵曲线过点（1，0）∴0=1+C，∴C=-1　　∴曲线方程为y=x2-1　　二、基本积分公式　　既然积分运算与微分运算互为逆运算，因此，正如例1、例2中所做的那样，可以很自然地从导数或微分的基本公式得到相应的基本积分公式。下面将这些基本积分

6、公式罗列如下：　　（1）；　　　　　　　　　　（2）（k为常数）；　　（3）；　　　　　（4）；　　（5）；　　（6）；　　（7）；　　　　　　（8）；　　（9）；　　（10）；　　（11）；　　　　（12）；　　（13）；　　　　　　　　（14）。　　以上14个基本积分公式是求不定积分的基础，其他函数的不定积分往往经过运算变形后，最终都归结为这些不定积分，因此必须牢牢记住。下面举例说明如何利用这些公式计算一些简单的不定积分。　　例4：求不定积分。　　[答疑编号10050104：针对该题提问]　　解：　　例5：求不定积分。　　[答疑编号10050105：针

7、对该题提问]　　解：　　例6：求不定积分。　　[答疑编号10050106：针对该题提问]　　解：　　例7：求不定积分。　　[答疑编号10050107：针对该题提问]　　解：由还原公式　　∴e2lnx=x2　　　　三、不定积分的基本性质　　仅仅有以上的基本积分公式是很不够的，即使像lnx，tanx，cotx，secx，cscx，arctanx，arccotx这样一些基本初等函数，也无法直接利用以上基本公式给出它们的不定积分。因此，有必要从一些求导法则去导出相应的求不定积分的方法，并逐步扩充不定积分公式。这里首先从导数的加减运算得到不定积分的线性运算法则。　　

8、定理5.2两个函数的和（或差）的不定积分等于函数的不定积分的和（或