好2010年高考数学双曲线性质典型例题

《好2010年高考数学双曲线性质典型例题》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。

1、选校网www.xuanxiao.com高考频道专业大全历年分数线上万张大学图片大学视频院校库（二）双曲线性质典型例题例1求与双曲线共渐近线且过点的双曲线方程及离心率．解法一：双曲线的渐近线方程为：（1）设所求双曲线方程为，∵，∴①∵在双曲线上∴②由①－②，得方程组无解（2）设双曲线方程为，∵，∴③∵在双曲线上，∴④由③④得，，∴所求双曲线方程为：且离心率解法二：设与双曲线共渐近线的双曲线方程为：∵点在双曲线上，∴，∴所求双曲线方程为：，即．说明：（1）不难证明与双曲线共渐近线的双曲线方程．一般地，在已知渐近线方程或与已知双曲线有相同

2、渐近线的条件下，利用双曲线系方程．例2求以曲线和的交点与原点的连线为渐近线，且实轴长为12的双曲线的标准方程．解：∵，∴或，∴渐近线方程为当焦点在轴上时，由且，得．∴所求双曲线方程为当焦点在轴上时，由，且，得．∴所求双曲线方程为说明：（1）“定量”与“定位”是求双曲线标准方程的两个过程，解题过程中应准确把握．选校网www.xuanxiao.com专业大全历年分数线上万张大学图片大学视频院校库选校网www.xuanxiao.com高考频道专业大全历年分数线上万张大学图片大学视频院校库（2）为避免上述的“定位”讨论，我们可以用有相同渐近

3、线的双曲线系方程去解，请读者自行完成．例3已知双曲线的渐近线方程为，两条准线间的距离为，求双曲线标准方程．解：∵双曲线渐近线方程为，∴设双曲线方程为（1）若，则，，∴准线方程为：，∴，∴（2）若，则，，∴准线方程为：，∴，∴，∴所求双曲线方程为：或例4中心在原点，一个焦点为的双曲线，其实轴长与虚轴长之比为，求双曲线标准方程．解：设双曲线的标准方程为，则，解得∴为所求双曲线的标准方程．例5　求中心在原点，对称轴为坐标轴经过点且离心率为的双曲线标准方程．解：设所求双曲线方程为：，则，∴，∴，∴所求双曲线方程为说明：（1）离心率是双曲线的

4、等轴双曲线的充要条件，证明如下：设等轴双曲线，则，∴，∴，∴反之，如果一个双曲线的离心率．∴，∴，，∴，∴，∴双曲线是等轴双曲线选校网www.xuanxiao.com专业大全历年分数线上万张大学图片大学视频院校库选校网www.xuanxiao.com高考频道专业大全历年分数线上万张大学图片大学视频院校库（2）还可以证明等轴双曲线的其他性质：两条渐近线互相垂直；等轴双曲线上任意一点到中心的距离是它到两个焦点的距离的比例中项等．例6　已知点，，在双曲线上求一点，使的值最小．解：∵，，∴，∴，设点到与焦点相应准线的距离为则∴，∴，至此，将

5、问题转化成在双曲线上求一点，使到定点的距离与到准线距离和最小．即到定点的距离与准线距离和最小为直线垂直于准线时，解之得，点．例7　已知：是双曲线上一点．求：点到双曲线两焦点、的距离．解：如图，设点到相应焦点、的准线的距离为、．当点在双曲线的右支上时，，且有∴，当点在双曲线的左支上时，，且有∴，说明：以上结论称为双曲线的焦点半径公式，它在解题过程中发挥着很大的优越性，例如：在双曲线的一支上有三个不同点、、与焦点的距离成等差数列，求的值．解：直接利用焦半径公式，得：，，∴，∴，即选校网www.xuanxiao.com专业大全历年分数线上

6、万张大学图片大学视频院校库选校网www.xuanxiao.com高考频道专业大全历年分数线上万张大学图片大学视频院校库例9　如图所示，已知梯形中，，点满足，双曲线过、、三点，且以、为焦点，当时，求双曲线离心率的取值范围．分析一：依题意，建立恰当的坐标系，并通过、、的坐标及双曲线的方程求解．解法一：以直线为轴，以的垂直平分线为轴，建立直角坐标系，则轴，因双曲线过点、，且以、为焦点，由双曲线的对称性可知、关于轴对称．设、、，其中为双曲线的半焦距，是梯形的高．由，即，得，设双曲线方程为，则离心率为．由点、在双曲线上，将、的坐标和，代入双曲

7、线方程得由①得，将③代入②式中，整理得：∴，又∵，∴，∴分析二：建立直线方程，再与双曲线方程联立，借助一元二次方程根与系数关系解题．解法二：前面部分同解法一．可求得直线方程为，将其代入双曲线方程中，得，又∵、为上述二次方程的两根，∴①又∵在双曲线上，∴②∵③，将②③代入①中，得：，∵，∴，以下同解法一分析三：借助焦半径公式．∵，∴①，∴，由焦半径公式，选校网www.xuanxiao.com专业大全历年分数线上万张大学图片大学视频院校库选校网www.xuanxiao.com高考频道专业大全历年分数线上万张大学图片大学视频院校库得：②，

8、将①代入②，得：，∵，∴例10设双曲线的半焦距为，直线过、两点，且原点到直线的距离为，求双曲线的离心率．分析：由两点式得直线的方程，再由双曲线中、、的关系及原点到直线的距离建立等式，解出的值．解：由过两点，，得的方程为．由点到的距离为