椭圆与双曲线的简单几何性质典型例题.doc

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1、椭圆与双曲线的简单几何性质典型例题知识点回顾　　一、椭圆　　1．椭圆的定义文字叙述：平面内与两个定点，的距离之和等于常数（大于）的点的轨迹叫做椭圆．这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫做椭圆的焦距．数学语言：集合，其中，，，，为常数，则集合表示以，为焦点的椭圆．注意：（1）与圆的定义（平面内到一个定点的距离等于定长的点的轨迹）类比可知：二者的定义方式一致———都是通过对平面内与定点的距离满足某些条件的动点的轨迹研究得出的．（2）注意椭圆定义中的限制条件：当时，点的轨迹为线段；当时，点的轨迹不存在（或不表示任何图形）．2．两种标准方程（1），焦点在轴上；（

2、2），焦点在轴上．注意：（1）参数关系：，，中最大．（2）判断焦点位置的方法：①椭圆的焦点在轴上标准方程中项的分母较大；②椭圆的焦点在轴上标准方程中项的分母较大．3．椭圆方程的一般形式，其焦点位置有如下规律：当时，焦点在轴上；当时，焦点在轴上．注意：在求椭圆的标准方程时，有时不知焦点在哪一个坐标轴上时，一般可设所求椭圆的标准方程为，不必考虑焦点位置，用待定系数法求出的值即可．如：求焦点在坐标轴上，且经过和两点的椭圆的标准方程．4．理解椭圆应注意的几点　　（1）椭圆的两个焦点总在它的长轴上．（2）离心率的大小对椭圆形状的影响：　　∵．∴当趋近于1时，变小且越接

3、近于，椭圆越扁平；当趋近于时，变大且越接近于１，椭圆越圆．　　二、双曲线　　1．双曲线的定义　　文字叙述：在平面内到两个定点，距离之差的绝对值等于常数（小于）的点的轨迹叫做双曲线，这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点的距离叫做双曲线的焦距．　　数学语言描述：集合，其中，，，为常数，则集合表示以，为焦点的双曲线．　　注意：（1）定义中的限制条件．　　当时，点的轨迹为以，为端点的两条射线；　　当时，轨迹不存在（或不表示任何图形）；　　当时，点的轨迹是线段的垂直平分线．　　（2）定义中的“绝对值”必不可少．若有“绝对值”，点的轨迹表示双曲线的两支；若去掉“绝对值”，

4、点的轨迹仅为双曲线的一支．　　2．两种标准方程　　（1），焦点在轴上；（2），焦点在轴上．　　注意：双曲线与椭圆标准方程的不同：　　（1）“＋”、“－”号不同：椭圆标准方程中是“＋”号，双曲线标准方程中是“－”号；　　（2）的大小关系不同：椭圆标准方程中，而双曲线中大小不确定；　　（3）关系不同：椭圆标准方程中，而双曲线中．　　3．双曲线方程的一般形式，其焦点位置有如下规律：　　当，时，焦点在轴上；当，时，焦点在轴上．　　注意：当不知焦点在哪个坐标轴上，求标准方程时常用此形式．如：求焦点在坐标轴上，且经过和的双曲线的标准方程．　　4．理解双曲线应注意的几点　

5、　（1）椭圆的离心率是描述椭圆扁平程度的一个重要数据．同样，双曲线的离心率是描述双曲线“张口”大小的一个重要数据，由于，当从接近1逐渐增大时，的值就从接近于逐渐增大，双曲线的“张口”逐渐增大．　　（2）要掌握根据双曲线的标准方程求它的渐近线方程的求法．　　∵，　　∴把标准方程中的“1”用“”替换即可得出渐近线方程．　　（3）已知渐近线方程求双曲线的标准方程的方法：　　①渐近线方程为的双曲线的方程为：（且为常数）．　　②与双曲线有共同渐近线的双曲线的方程可设为（且为常数）．经典例题例1已知椭圆的一个焦点为（0，2）求的值．分析：把椭圆的方程化为标准方程，由，根

6、据关系可求出的值．解：方程变形为．因为焦点在轴上，所以，解得．又，所以，适合．故．例2已知椭圆的中心在原点，且经过点，，求椭圆的标准方程．分析：因椭圆的中心在原点，故其标准方程有两种情况．根据题设条件，运用待定系数法，求出参数和（或和）的值，即可求得椭圆的标准方程．解：当焦点在轴上时，设其方程为．由椭圆过点，知．又，代入得，，故椭圆的方程为．当焦点在轴上时，设其方程为．由椭圆过点，知．又，联立解得，，故椭圆的方程为．例3的底边，和两边上中线长之和为30，求此三角形重心的轨迹和顶点的轨迹．分析：（1）由已知可得，再利用椭圆定义求解．（2）由的轨迹方程、坐标的关

7、系，利用代入法求的轨迹方程．解：（1）以所在的直线为轴，中点为原点建立直角坐标系．设点坐标为，由，知点的轨迹是以、为焦点的椭圆，且除去轴上两点．因，，有，故其方程为．（2）设，，则．①由题意有代入①，得的轨迹方程为，其轨迹是椭圆（除去轴上两点）．例4已知点在以坐标轴为对称轴的椭圆上，点到两焦点的距离分别为和，过点作焦点所在轴的垂线，它恰好过椭圆的一个焦点，求椭圆方程．分析：讨论椭圆方程的类型，根据题设求出和（或和）的值．从而求得椭圆方程．解：设两焦点为、，且，．从椭圆定义知．即．从知垂直焦点所在的对称轴，所以在中，，可求出，，从而．∴所求椭圆方程为或．例5已

8、知椭圆方程，长轴端点为，，焦点为，，是椭圆上一点，，