椭圆的简单几何性质典型例题.doc

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1、课前思考：我们是如何定义圆的？又是如何推导出圆的标准方程的？1.椭圆的第一定义平面内与两个定点、的距离的和等于常数（大于）的点的轨迹叫做椭圆。这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫椭圆的焦距。若为椭圆上任意一点，则有。问题：假设与两定点的距离之和为d,为什么要满足d>2c呢？（1）当d=2c时，轨迹是什么？（2）当d<2c时，轨迹又是什么？（1）、当d>

2、F1F2

3、时，是椭圆；（2）、当d=

4、F1F2

5、时，是线段；（3）、当d<

6、F1F2

7、轨迹不存在.3.椭圆的标准方程步骤:(1)建系设点(2)写出点的集合(3)写出代数方程(4)化简方程（四）方程推导,学会

8、建系取过焦点的直线为轴，线段的垂直平分线为轴设为椭圆上的任意一点，椭圆的焦距是（）.则，又设M与距离之和等于()（常数），，化简，得，由定义,令代入，得，两边同除得此即为椭圆的标准方程它所表示的椭圆的焦点在轴上，焦点是22/22，中心在坐标原点的椭圆方程其中注意若坐标系的选取不同，可得到椭圆的不同的方程如果椭圆的焦点在轴上（选取方式不同，调换轴）焦点则变成,只要将方程中的调换，即可得，也是椭圆的标准方程理解：所谓椭圆标准方程，一定指的是焦点在坐标轴上，且两焦点的中点为坐标原点；在与这两个标准方程中，都有的要求，如方程就不能肯定焦点在哪个轴上；分清两种形式的标准

9、方程，可与直线截距式类比，如中，由于，所以在轴上的“截距”更大，因而焦点在轴上(即看分母的大小)椭圆的标准方程为：（）（焦点在x轴上）或（）（焦点在y轴上）。注：①以上方程中的大小，其中；总结②在和两个方程中都有的条件，要分清焦点的位置，只要看和的分母的大小。例如椭圆（，，）当时表示焦点在轴上的椭圆；当时表示焦点在轴上的椭圆。典型例题一22/22例1椭圆的一个顶点为，其长轴长是短轴长的2倍，求椭圆的标准方程．分析：题目没有指出焦点的位置，要考虑两种位置．解：（1）当为长轴端点时，，，椭圆的标准方程为：；（2）当为短轴端点时，，，椭圆的标准方程为：；说明：椭圆的

10、标准方程有两个，给出一个顶点的坐标和对称轴的位置，是不能确定椭圆的横竖的，因而要考虑两种情况．典型例题二例2一个椭圆的焦点将其准线间的距离三等分，求椭圆的离心率．解：∴，∴．说明：求椭圆的离心率问题，通常有两种处理方法，一是求，求，再求比．二是列含和的齐次方程，再化含的方程，解方程即可．典型例题三例3已知中心在原点，焦点在轴上的椭圆与直线交于、两点，为中点，的斜率为0.25，椭圆的短轴长为2，求椭圆的方程．解：由题意，设椭圆方程为，由，得，22/22∴，，，∴，∴为所求．说明：（1）此题求椭圆方程采用的是待定系数法；（2）直线与曲线的综合问题，经常要借用根与系

11、数的关系，来解决弦长、弦中点、弦斜率问题．典型例题四例4椭圆上不同三点，，与焦点的距离成等差数列．（1）求证；（2）若线段的垂直平分线与轴的交点为，求直线的斜率．证明：（1）由椭圆方程知，，．由圆锥曲线的统一定义知：，∴．同理．∵，且，∴，即．（2）因为线段的中点为，所以它的垂直平分线方程为．又∵点在轴上，设其坐标为，代入上式，得22/22又∵点，都在椭圆上，∴∴．将此式代入①，并利用的结论得∴．典型例题五例5已知椭圆，、为两焦点，问能否在椭圆上找一点，使到左准线的距离是与的等比中项？若存在，则求出点的坐标；若不存在，请说明理由．解：假设存在，设，由已知条件得

12、，，∴，．∵左准线的方程是，∴．又由焦半径公式知：，．∵，22/22∴．整理得．解之得或．①另一方面．②则①与②矛盾，所以满足条件的点不存在．说明：（1）利用焦半径公式解常可简化解题过程．（2）本例是存在性问题，解决存在性问题，一般用分析法，即假设存在，根据已知条件进行推理和运算．进而根据推理得到的结果，再作判断．（3）本例也可设存在，推出矛盾结论（读者自己完成）．典型例题六例6已知椭圆，求过点且被平分的弦所在的直线方程．分析一：已知一点求直线，关键是求斜率，故设斜率为，利用条件求．解法一：设所求直线的斜率为，则直线方程为．代入椭圆方程，并整理得．由韦达定理得

13、．∵是弦中点，∴．故得．所以所求直线方程为．分析二：设弦两端坐标为、，列关于、、、的方程组，从而求斜率：．22/22解法二：设过的直线与椭圆交于、，则由题意得①－②得．⑤将③、④代入⑤得，即直线的斜率为．所求直线方程为．说明：（1）有关弦中点的问题，主要有三种类型：过定点且被定点平分的弦；平行弦的中点轨迹；过定点的弦中点轨迹．（2）解法二是“点差法”，解决有关弦中点问题的题较方便，要点是巧代斜率．（3）有关弦及弦中点问题常用的方法是：“韦达定理应用”及“点差法”．有关二次曲线问题也适用．典型例题七例7求适合条件的椭圆的标准方程．（1）长轴长是短轴长的2倍，且过

14、点；（2）在轴上的一个焦点与短轴两端点